Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 11 / Задание 1098

ГДЗ: Упражнение 1098 - Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 333, 334, 335
Глава: Глава 11
Параграф: Глава 11 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1098 упражнение:

Упростить:

1) \( \frac{(n+3)!}{(n+1)!} \)

Шаг 1. Разложение большего факториала.

  • Используем свойство факториала: \( k! = k \cdot (k-1) \cdot (k-2)! \).
  • Разложим числитель \( (n+3)! \) до факториала в знаменателе \( (n+1)! \):
  • \( (n+3)! = (n+3) \cdot ((n+3)-1)! = (n+3) \cdot (n+2)! \)
  • Продолжаем разложение: \( (n+2)! = (n+2) \cdot ((n+2)-1)! = (n+2) \cdot (n+1)! \)
  • Таким образом, \( (n+3)! = (n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)! \)

    • Шаг 2. Сокращение.

  • Подставляем разложение в исходное выражение: \( \frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!} \)
  • Сокращаем на \( (n+1)! \): \( (n+3) \cdot (n+2) \)

    • Ответ: \( (n+3)(n+2) \) (или \( n^2 + 5n + 6 \) )

    2) \( \frac{(n+2)!}{(n-1)!} \)

    Шаг 1. Разложение большего факториала.

  • Используем свойство факториала: \( k! = k \cdot (k-1)! \).
  • Разложим числитель \( (n+2)! \) до факториала в знаменателе \( (n-1)! \):
  • \( (n+2)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! \)

    • Шаг 2. Сокращение.

  • Подставляем разложение в исходное выражение: \( \frac{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} \)
  • Сокращаем на \( (n-1)! \): \( n(n+1)(n+2) \)

    • Ответ: \( n(n+1)(n+2) \) (или \( n^3 + 3n^2 + 2n \) )

    3) \( \left( \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{n!} \right) \cdot n! \)

    Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Представим \( (n+1)! \) как \( (n+1) \cdot n! \).

    • Выражение в скобках примет вид: \( \frac{1}{(n+1)n!} + \frac{1}{n!} \)

    Шаг 2. Приведение к общему знаменателю в скобках.

  • Общий знаменатель: \( (n+1)n! \).
  • Вторую дробь умножаем на \( (n+1) \): \( \frac{1}{(n+1)n!} + \frac{n+1}{(n+1)n!} = \frac{1 + (n+1)}{(n+1)n!} = \frac{n+2}{(n+1)n!} \)

    • Шаг 3. Умножение на \( n! \) и сокращение.

  • Умножаем полученный результат на \( n! \): \( \frac{n+2}{(n+1)n!} \cdot n! \)
  • Сокращаем на \( n! \): \( \frac{n+2}{n+1} \)

    • Ответ: \( \frac{n+2}{n+1} \)

    4) \( \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \right) \cdot n! \)

    Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Представим \( (n+1)! \) как \( (n+1) \cdot n! \).

    • Выражение в скобках примет вид: \( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)n!} \)

    Шаг 2. Приведение к общему знаменателю в скобках.

  • Общий знаменатель: \( (n+1)n! \).
  • Первую дробь умножаем на \( (n+1) \): \( \frac{n+1}{(n+1)n!} - \frac{1}{(n+1)n!} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)n!} = \frac{n}{(n+1)n!} \)

    • Шаг 3. Умножение на \( n! \) и сокращение.

  • Умножаем полученный результат на \( n! \): \( \frac{n}{(n+1)n!} \cdot n! \)
  • Сокращаем на \( n! \): \( \frac{n}{n+1} \)

    • Ответ: \( \frac{n}{n+1} \)

    5) \( \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+2)!} \right) \cdot (n+1)! \)

    Шаг 1. Представление факториалов через меньший факториал.

  • Представим \( (n+2)! \) как \( (n+2) \cdot (n+1) \cdot n! \).

    • Выражение в скобках примет вид: \( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+2)(n+1)n!} \)

    Шаг 2. Приведение к общему знаменателю в скобках.

  • Общий знаменатель: \( (n+2)(n+1)n! \).
  • Первую дробь умножаем на \( (n+2)(n+1) \):
  • \( \frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)(n+1)n!} - \frac{1}{(n+2)(n+1)n!} = \frac{(n^2 + 3n + 2) - 1}{(n+2)(n+1)n!} = \frac{n^2 + 3n + 1}{(n+2)(n+1)n!} \)

    • Шаг 3. Умножение на \( (n+1)! \) и сокращение.

  • Умножаем полученный результат на \( (n+1)! \). Помним, что \( (n+1)! = (n+1)n! \).
  • \( \frac{n^2 + 3n + 1}{(n+2)(n+1)n!} \cdot (n+1)n! \)
  • Сокращаем на \( (n+1)n! \): \( \frac{n^2 + 3n + 1}{n+2} \)

    • Ответ: \( \frac{n^2 + 3n + 1}{n+2} \)

    6) \( \frac{1}{n!} \left( \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+1)!} \right) \cdot (n+1)! \)

    Шаг 1. Упрощение выражения.

  • Выполним умножение: \( \frac{1}{n!} \cdot (n+1)! \left( \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+1)!} \right) \)
  • Упростим \( \frac{(n+1)!}{n!} \). Поскольку \( (n+1)! = (n+1)n! \), то \( \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \).
  • Выражение примет вид: \( (n+1) \left( \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+1)!} \right) \)

    • Шаг 2. Раскрытие скобок.

  • \( \frac{n+1}{(n+2)!} + \frac{n+1}{(n+1)!} \)

    • Шаг 3. Упрощение слагаемых.

  • Первое слагаемое: \( (n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)! \).
  • \( \frac{n+1}{(n+2)(n+1)!} = \frac{1}{n+2} \)
  • Второе слагаемое: \( \frac{n+1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)n!} = \frac{1}{n!} \)

    • Шаг 4. Сборка результата.

  • Результат: \( \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n!} \)

    • Ответ: \( \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n!} \)

    Что применять при решении

    Факториал
    Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
    \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
    Размещения
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
    \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
    Сочетания
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
    \( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство числа сочетаний (Сложение)
    Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
    \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
    Формула бинома Ньютона
    Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
    \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
    Общий член бинома Ньютона
    Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
    \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 11

    1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.