Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 11 / Задание 1103

ГДЗ: Упражнение 1103 - Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 333, 334, 335
Глава: Глава 11
Параграф: Глава 11 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1103 упражнение:

Сколькими способами могут распределиться первое, второе и третье места среди: 1) десяти; 2) восьми участников соревнований?

1) десяти

Анализ задачи:

  • Необходимо выбрать 3 места (1-е, 2-е, 3-е) из 10 участников.
  • Порядок имеет значение (1-е место отличается от 2-го).
  • Это задача на размещения без повторений.

    • Формула и вычисление:

  • Число способов равно числу размещений из 10 по 3: \( A_{10}^3 \).
  • \( A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \)

    • Ответ: \( 720 \) способами

    2) восьми участников соревнований?

    Анализ задачи:

  • Необходимо выбрать 3 места (1-е, 2-е, 3-е) из 8 участников.
  • Порядок имеет значение.
  • Это задача на размещения без повторений.

    • Формула и вычисление:

  • Число способов равно числу размещений из 8 по 3: \( A_8^3 \).
  • \( A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 \)

    • Ответ: \( 336 \) способами

    Что применять при решении

    Факториал
    Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
    \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
    Размещения
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
    \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
    Сочетания
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
    \( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство числа сочетаний (Сложение)
    Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
    \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
    Формула бинома Ньютона
    Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
    \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
    Общий член бинома Ньютона
    Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
    \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 11

    1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.