Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 11 / Задание 1113

ГДЗ: Упражнение 1113 - Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 333, 334, 335
Глава: Глава 11
Параграф: Глава 11 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1113 упражнение:

Записать разложение бинома:

1) \( (3a + 1)^5 \)

Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( A=3a \), \( B=1 \), \( n=5 \).
  • \( (3a + 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k (3a)^{5-k} 1^k = \sum_{k=0}^{5} C_5^k 3^{5-k} a^{5-k} \)

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов.

  • \( C_5^0 3^5 a^5 = 1 \cdot 243 a^5 = 243a^5 \)
  • \( C_5^1 3^4 a^4 = 5 \cdot 81 a^4 = 405a^4 \)
  • \( C_5^2 3^3 a^3 = 10 \cdot 27 a^3 = 270a^3 \)
  • \( C_5^3 3^2 a^2 = 10 \cdot 9 a^2 = 90a^2 \)
  • \( C_5^4 3^1 a^1 = 5 \cdot 3 a = 15a \)
  • \( C_5^5 3^0 a^0 = 1 \cdot 1 = 1 \)

    • Ответ: \( 243a^5 + 405a^4 + 270a^3 + 90a^2 + 15a + 1 \)

    2) \( (x + 3)^6 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=x \), \( b=3 \), \( n=6 \).
  • \( (x + 3)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k x^{6-k} 3^k \)

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов.

  • \( C_6^0 x^6 3^0 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 = x^6 \)
  • \( C_6^1 x^5 3^1 = 6 \cdot x^5 \cdot 3 = 18x^5 \)
  • \( C_6^2 x^4 3^2 = 15 \cdot x^4 \cdot 9 = 135x^4 \)
  • \( C_6^3 x^3 3^3 = 20 \cdot x^3 \cdot 27 = 540x^3 \)
  • \( C_6^4 x^2 3^4 = 15 \cdot x^2 \cdot 81 = 1215x^2 \)
  • \( C_6^5 x^1 3^5 = 6 \cdot x \cdot 243 = 1458x \)
  • \( C_6^6 x^0 3^6 = 1 \cdot 1 \cdot 729 = 729 \)

    • Ответ: \( x^6 + 18x^5 + 135x^4 + 540x^3 + 1215x^2 + 1458x + 729 \)

    3) \( \left( x - \frac{1}{x} \right)^7 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=x \), \( b=-\frac{1}{x} = -x^{-1} \), \( n=7 \).
  • Общий член: \( T_{k+1} = C_7^k x^{7-k} \left( -\frac{1}{x} \right)^k = C_7^k (-1)^k x^{7-k} x^{-k} = C_7^k (-1)^k x^{7-2k} \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов.

  • \( C_7^0 (-1)^0 x^7 = x^7 \)
  • \( C_7^1 (-1)^1 x^5 = -7x^5 \)
  • \( C_7^2 (-1)^2 x^3 = 21x^3 \)
  • \( C_7^3 (-1)^3 x^1 = -35x \)
  • \( C_7^4 (-1)^4 x^{-1} = 35x^{-1} = \frac{35}{x} \)
  • \( C_7^5 (-1)^5 x^{-3} = -21x^{-3} = -\frac{21}{x^3} \)
  • \( C_7^6 (-1)^6 x^{-5} = 7x^{-5} = \frac{7}{x^5} \)
  • \( C_7^7 (-1)^7 x^{-7} = -x^{-7} = -\frac{1}{x^7} \)

    • Ответ: \( x^7 - 7x^5 + 21x^3 - 35x + \frac{35}{x} - \frac{21}{x^3} + \frac{7}{x^5} - \frac{1}{x^7} \)

    4) \( \left( a - \frac{1}{a} \right)^5 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( A=a \), \( B=-\frac{1}{a} = -a^{-1} \), \( n=5 \).
  • Общий член: \( T_{k+1} = C_5^k a^{5-k} \left( -\frac{1}{a} \right)^k = C_5^k (-1)^k a^{5-k} a^{-k} = C_5^k (-1)^k a^{5-2k} \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов.

  • Коэффициенты \( C_5^k \): 1, 5, 10, 10, 5, 1. Знаки чередуются.
  • \( k=0: \) \( 1 \cdot a^5 = a^5 \)
  • \( k=1: \) \( -5 \cdot a^3 = -5a^3 \)
  • \( k=2: \) \( 10 \cdot a^1 = 10a \)
  • \( k=3: \) \( -10 \cdot a^{-1} = -\frac{10}{a} \)
  • \( k=4: \) \( 5 \cdot a^{-3} = \frac{5}{a^3} \)
  • \( k=5: \) \( -1 \cdot a^{-5} = -\frac{1}{a^5} \)

    • Ответ: \( a^5 - 5a^3 + 10a - \frac{10}{a} + \frac{5}{a^3} - \frac{1}{a^5} \)

    5) \( (10x - 0,1)^4 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( A=10x \), \( B=-0,1 = -\frac{1}{10} \), \( n=4 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов.

  • Коэффициенты \( C_4^k \): 1, 4, 6, 4, 1. Знаки чередуются.
  • \( k=0: \) \( C_4^0 (10x)^4 (-0,1)^0 = 1 \cdot 10000 x^4 \cdot 1 = 10000x^4 \)
  • \( k=1: \) \( C_4^1 (10x)^3 (-0,1)^1 = 4 \cdot 1000 x^3 \cdot (-0,1) = -400x^3 \)
  • \( k=2: \) \( C_4^2 (10x)^2 (-0,1)^2 = 6 \cdot 100 x^2 \cdot 0,01 = 6x^2 \)
  • \( k=3: \) \( C_4^3 (10x)^1 (-0,1)^3 = 4 \cdot 10 x \cdot (-0,001) = -0,04x \)
  • \( k=4: \) \( C_4^4 (10x)^0 (-0,1)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0,0001 = 0,0001 \)

    • Ответ: \( 10000x^4 - 400x^3 + 6x^2 - 0,04x + 0,0001 \)

    6) \( (0,1b - 10)^7 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( A=0,1b \), \( B=-10 \), \( n=7 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов.

  • Коэффициенты \( C_7^k \): 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Знаки чередуются.
  • Общий член: \( T_{k+1} = C_7^k (0,1b)^{7-k} (-10)^k = C_7^k 10^{-(7-k)} b^{7-k} (-1)^k 10^k = C_7^k (-1)^k 10^{2k-7} b^{7-k} \).
  • \( k=0: \) \( C_7^0 (-1)^0 10^{-7} b^7 = 10^{-7} b^7 = 0,0000001 b^7 \)
  • \( k=1: \) \( C_7^1 (-1)^1 10^{-5} b^6 = -7 \cdot 0,00001 b^6 = -0,00007 b^6 \)
  • \( k=2: \) \( C_7^2 (-1)^2 10^{-3} b^5 = 21 \cdot 0,001 b^5 = 0,021 b^5 \)
  • \( k=3: \) \( C_7^3 (-1)^3 10^{-1} b^4 = -35 \cdot 0,1 b^4 = -3,5 b^4 \)
  • \( k=4: \) \( C_7^4 (-1)^4 10^1 b^3 = 35 \cdot 10 b^3 = 350 b^3 \)
  • \( k=5: \) \( C_7^5 (-1)^5 10^3 b^2 = -21 \cdot 1000 b^2 = -21000 b^2 \)
  • \( k=6: \) \( C_7^6 (-1)^6 10^5 b^1 = 7 \cdot 100000 b = 700000 b \)
  • \( k=7: \) \( C_7^7 (-1)^7 10^7 b^0 = -10000000 \)

    • Ответ: \( 0,0000001 b^7 - 0,00007 b^6 + 0,021 b^5 - 3,5 b^4 + 350 b^3 - 21000 b^2 + 700000 b - 10000000 \)

    7) \( \left( \frac{2}{a} + \frac{a}{2} \right)^7 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( A=\frac{2}{a} = 2a^{-1} \), \( B=\frac{a}{2} = \frac{1}{2} a \), \( n=7 \).
  • Общий член: \( T_{k+1} = C_7^k \left( \frac{2}{a} \right)^{7-k} \left( \frac{a}{2} \right)^k = C_7^k 2^{7-k} a^{-(7-k)} a^k 2^{-k} = C_7^k 2^{7-2k} a^{2k-7} \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов.

  • Коэффициенты \( C_7^k \): 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.
  • k=0: \( C_7^0 2^7 a^{-7} = 128 a^{-7} = \frac{128}{a^7} \)
  • k=1: \( C_7^1 2^5 a^{-5} = 7 \cdot 32 a^{-5} = \frac{224}{a^5} \)
  • k=2: \( C_7^2 2^3 a^{-3} = 21 \cdot 8 a^{-3} = \frac{168}{a^3} \)
  • k=3: \( C_7^3 2^1 a^{-1} = 35 \cdot 2 a^{-1} = \frac{70}{a} \)
  • k=4: \( C_7^4 2^{-1} a^1 = 35 \cdot \frac{1}{2} a = \frac{35a}{2} \)
  • k=5: \( C_7^5 2^{-3} a^3 = 21 \cdot \frac{1}{8} a^3 = \frac{21a^3}{8} \)
  • k=6: \( C_7^6 2^{-5} a^5 = 7 \cdot \frac{1}{32} a^5 = \frac{7a^5}{32} \)
  • k=7: \( C_7^7 2^{-7} a^7 = 1 \cdot \frac{1}{128} a^7 = \frac{a^7}{128} \)

    • Ответ: \( \frac{128}{a^7} + \frac{224}{a^5} + \frac{168}{a^3} + \frac{70}{a} + \frac{35a}{2} + \frac{21a^3}{8} + \frac{7a^5}{32} + \frac{a^7}{128} \)

    8) \( \left( \frac{c}{2} + \frac{2}{c} \right)^8 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( A=\frac{c}{2} = \frac{1}{2} c \), \( B=\frac{2}{c} = 2c^{-1} \), \( n=8 \).
  • Общий член: \( T_{k+1} = C_8^k \left( \frac{c}{2} \right)^{8-k} \left( \frac{2}{c} \right)^k = C_8^k c^{8-k} 2^{-(8-k)} 2^k c^{-k} = C_8^k 2^{2k-8} c^{8-2k} \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов.

  • Коэффициенты \( C_8^k \): 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1.
  • k=0: \( C_8^0 2^{-8} c^8 = \frac{1}{256} c^8 \)
  • k=1: \( C_8^1 2^{-6} c^6 = 8 \cdot \frac{1}{64} c^6 = \frac{1}{8} c^6 \)
  • k=2: \( C_8^2 2^{-4} c^4 = 28 \cdot \frac{1}{16} c^4 = \frac{7}{4} c^4 \)
  • k=3: \( C_8^3 2^{-2} c^2 = 56 \cdot \frac{1}{4} c^2 = 14 c^2 \)
  • k=4: \( C_8^4 2^0 c^0 = 70 \cdot 1 = 70 \)
  • k=5: \( C_8^5 2^2 c^{-2} = 56 \cdot 4 c^{-2} = \frac{224}{c^2} \)
  • k=6: \( C_8^6 2^4 c^{-4} = 28 \cdot 16 c^{-4} = \frac{448}{c^4} \)
  • k=7: \( C_8^7 2^6 c^{-6} = 8 \cdot 64 c^{-6} = \frac{512}{c^6} \)
  • k=8: \( C_8^8 2^8 c^{-8} = 1 \cdot 256 c^{-8} = \frac{256}{c^8} \)

    • Ответ: \( \frac{c^8}{256} + \frac{c^6}{8} + \frac{7c^4}{4} + 14c^2 + 70 + \frac{224}{c^2} + \frac{448}{c^4} + \frac{512}{c^6} + \frac{256}{c^8} \)

    Что применять при решении

    Факториал
    Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
    \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
    Размещения
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
    \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
    Сочетания
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
    \( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство числа сочетаний (Сложение)
    Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
    \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
    Формула бинома Ньютона
    Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
    \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
    Общий член бинома Ньютона
    Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
    \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 11

    1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.