Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 11 / Задание 1105

ГДЗ: Упражнение 1105 - Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 333, 334, 335
Глава: Глава 11
Параграф: Глава 11 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1105 упражнение:

Найти значение выражения, предварительно его упростив:

1) \( C_{12}^{12} + C_{12}^{11} \)

Шаг 1. Упрощение слагаемых.

  • Используем свойство \( C_n^n = 1 \): \( C_{12}^{12} = 1 \).
  • Используем свойство \( C_n^{n-1} = C_n^1 = n \): \( C_{12}^{11} = C_{12}^{1} = 12 \).

    • Шаг 2. Вычисление суммы.

  • \( C_{12}^{12} + C_{12}^{11} = 1 + 12 = 13 \)

    • Альтернативный способ (через свойство сложения):

  • Используем свойство \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \).
  • Перепишем: \( C_{12}^{11} + C_{12}^{12} \). Здесь \( n=12 \), \( k=11 \), \( k+1=12 \).
  • \( C_{12}^{11} + C_{12}^{12} = C_{13}^{12} \)
  • Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \): \( C_{13}^{12} = C_{13}^{1} = 13 \)

    • Ответ: 13

    2) \( C_9^0 + C_9^{10} \)

    Шаг 1. Упрощение слагаемых.

  • Используем свойство \( C_n^0 = 1 \): \( C_9^0 = 1 \).
  • Используем определение сочетаний: \( C_n^k = 0 \) при \( k > n \).
  • В \( C_9^{10} \) имеем \( 10 > 9 \), следовательно, \( C_9^{10} = 0 \).

    • Шаг 2. Вычисление суммы.

  • \( C_9^0 + C_9^{10} = 1 + 0 = 1 \)

    • Ответ: 1

    3) \( C_9^7 + C_9^8 + C_9^9 \)

    Шаг 1. Упрощение первых двух слагаемых.

  • Используем свойство сложения \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \).
  • \( C_9^7 + C_9^8 = C_{10}^8 \)

    • Шаг 2. Замена выражения.

  • Исходное выражение равно \( C_{10}^8 + C_9^9 \).

    • Шаг 3. Упрощение второго слагаемого и первое слагаемое.

  • \( C_9^9 = 1 \).
  • \( C_{10}^8 = C_{10}^{10-8} = C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \).

    • Шаг 4. Вычисление суммы.

  • \( C_{10}^8 + C_9^9 = 45 + 1 = 46 \)

    • Альтернативный способ (последовательное сложение):

  • \( C_9^7 = C_9^2 = 36 \). \( C_9^8 = C_9^1 = 9 \). \( C_9^9 = 1 \).
  • \( 36 + 9 + 1 = 46 \)

    • Ответ: 46

    4) \( C_9^9 + C_9^8 + C_{10}^9 \)

    Шаг 1. Упрощение первого и третьего слагаемого.

  • \( C_9^9 = 1 \).
  • \( C_{10}^9 = C_{10}^1 = 10 \).

    • Шаг 2. Упрощение второго слагаемого.

  • \( C_9^8 = C_9^1 = 9 \).

    • Шаг 3. Вычисление суммы.

  • \( C_9^9 + C_9^8 + C_{10}^9 = 1 + 9 + 10 = 20 \)

    • Ответ: 20

    Что применять при решении

    Факториал
    Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
    \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
    Размещения
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
    \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
    Сочетания
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
    \( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство числа сочетаний (Сложение)
    Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
    \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
    Формула бинома Ньютона
    Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
    \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
    Общий член бинома Ньютона
    Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
    \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 11

    1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.