Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 11 / Задание 1106

ГДЗ: Упражнение 1106 - Глава 11 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 333, 334, 335
Глава: Глава 11
Параграф: Глава 11 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1106 упражнение:

Записать разложение бинома:

1) \( (2-x)^5 \)

Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Формула: \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \).
  • Здесь \( a=2 \), \( b=-x \), \( n=5 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_5^k \).

  • \( C_5^0 = 1 \)
  • \( C_5^1 = 5 \)
  • \( C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \)
  • \( C_5^3 = C_5^2 = 10 \)
  • \( C_5^4 = C_5^1 = 5 \)
  • \( C_5^5 = 1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (2-x)^5 = C_5^0 2^5 (-x)^0 + C_5^1 2^4 (-x)^1 + C_5^2 2^3 (-x)^2 + C_5^3 2^2 (-x)^3 + C_5^4 2^1 (-x)^4 + C_5^5 2^0 (-x)^5 \)
  • \( (2-x)^5 = 1 \cdot 32 \cdot 1 + 5 \cdot 16 \cdot (-x) + 10 \cdot 8 \cdot x^2 + 10 \cdot 4 \cdot (-x^3) + 5 \cdot 2 \cdot x^4 + 1 \cdot 1 \cdot (-x^5) \)
  • \( (2-x)^5 = 32 - 80x + 80x^2 - 40x^3 + 10x^4 - x^5 \)

    • Ответ: \( 32 - 80x + 80x^2 - 40x^3 + 10x^4 - x^5 \)

    2) \( (x-2)^4 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=x \), \( b=-2 \), \( n=4 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_4^k \).

  • \( C_4^0 = 1 \)
  • \( C_4^1 = 4 \)
  • \( C_4^2 = 6 \)
  • \( C_4^3 = 4 \)
  • \( C_4^4 = 1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (x-2)^4 = C_4^0 x^4 (-2)^0 + C_4^1 x^3 (-2)^1 + C_4^2 x^2 (-2)^2 + C_4^3 x^1 (-2)^3 + C_4^4 x^0 (-2)^4 \)
  • \( (x-2)^4 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot (-2) + 6 \cdot x^2 \cdot 4 + 4 \cdot x \cdot (-8) + 1 \cdot 1 \cdot 16 \)
  • \( (x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 \)

    • Ответ: \( x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 \)

    3) \( (a+3)^4 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a \) в формуле - это \( a \) в выражении, \( b=3 \), \( n=4 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_4^k \).

  • \( C_4^0 = 1 \), \( C_4^1 = 4 \), \( C_4^2 = 6 \), \( C_4^3 = 4 \), \( C_4^4 = 1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (a+3)^4 = C_4^0 a^4 3^0 + C_4^1 a^3 3^1 + C_4^2 a^2 3^2 + C_4^3 a^1 3^3 + C_4^4 a^0 3^4 \)
  • \( (a+3)^4 = 1 \cdot a^4 \cdot 1 + 4 \cdot a^3 \cdot 3 + 6 \cdot a^2 \cdot 9 + 4 \cdot a \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81 \)
  • \( (a+3)^4 = a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81 \)

    • Ответ: \( a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81 \)

    4) \( (3+a)^6 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=3 \), \( b=a \), \( n=6 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_6^k \).

  • \( C_6^0 = 1 \)
  • \( C_6^1 = 6 \)
  • \( C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \)
  • \( C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \)
  • \( C_6^4 = 15 \), \( C_6^5 = 6 \), \( C_6^6 = 1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (3+a)^6 = C_6^0 3^6 a^0 + C_6^1 3^5 a^1 + C_6^2 3^4 a^2 + C_6^3 3^3 a^3 + C_6^4 3^2 a^4 + C_6^5 3^1 a^5 + C_6^6 3^0 a^6 \)
  • \( 3^6=729 \), \( 3^5=243 \), \( 3^4=81 \), \( 3^3=27 \), \( 3^2=9 \), \( 3^1=3 \), \( 3^0=1 \).
  • \( (3+a)^6 = 1 \cdot 729 + 6 \cdot 243 a + 15 \cdot 81 a^2 + 20 \cdot 27 a^3 + 15 \cdot 9 a^4 + 6 \cdot 3 a^5 + 1 \cdot a^6 \)
  • \( (3+a)^6 = 729 + 1458a + 1215a^2 + 540a^3 + 135a^4 + 18a^5 + a^6 \)

    • Ответ: \( 729 + 1458a + 1215a^2 + 540a^3 + 135a^4 + 18a^5 + a^6 \)

    5) \( (x-1)^6 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=x \), \( b=-1 \), \( n=6 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_6^k \).

  • \( C_6^0 = 1 \), \( C_6^1 = 6 \), \( C_6^2 = 15 \), \( C_6^3 = 20 \), \( C_6^4 = 15 \), \( C_6^5 = 6 \), \( C_6^6 = 1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (x-1)^6 = C_6^0 x^6 (-1)^0 + C_6^1 x^5 (-1)^1 + C_6^2 x^4 (-1)^2 + C_6^3 x^3 (-1)^3 + C_6^4 x^2 (-1)^4 + C_6^5 x^1 (-1)^5 + C_6^6 x^0 (-1)^6 \)
  • \( (x-1)^6 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-1) + 15 \cdot x^4 \cdot 1 + 20 \cdot x^3 \cdot (-1) + 15 \cdot x^2 \cdot 1 + 6 \cdot x \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1 \)
  • При разложении бинома с \( b=-1 \) знаки просто чередуются, начиная с плюса.
  • \( (x-1)^6 = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1 \)

    • Ответ: \( x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1 \)

    6) \( (1-x)^7 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=1 \), \( b=-x \), \( n=7 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_7^k \).

  • \( C_7^0=1 \), \( C_7^1=7 \), \( C_7^2=21 \), \( C_7^3=35 \), \( C_7^4=35 \), \( C_7^5=21 \), \( C_7^6=7 \), \( C_7^7=1 \)

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • \( (1-x)^7 = C_7^0 1^7 (-x)^0 + C_7^1 1^6 (-x)^1 + C_7^2 1^5 (-x)^2 + \ldots + C_7^7 1^0 (-x)^7 \)
  • Поскольку \( 1^k = 1 \) для любого \( k \), степени единицы опускаем. Знаки чередуются.
  • \( (1-x)^7 = 1 - 7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 + 7x^6 - x^7 \)

    • Ответ: \( 1 - 7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 + 7x^6 - x^7 \)

    7) \( \left( x + \frac{1}{x} \right)^6 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( a=x \), \( b=\frac{1}{x} = x^{-1} \), \( n=6 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_6^k \).

  • \( 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 \).

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • Общий член: \( T_{k+1} = C_6^k x^{6-k} \left( \frac{1}{x} \right)^k = C_6^k x^{6-k} x^{-k} = C_6^k x^{6-2k} \).
  • k=0: \( C_6^0 x^6 = x^6 \)
  • k=1: \( C_6^1 x^4 = 6x^4 \)
  • k=2: \( C_6^2 x^2 = 15x^2 \)
  • k=3: \( C_6^3 x^0 = 20 \)
  • k=4: \( C_6^4 x^{-2} = 15x^{-2} = \frac{15}{x^2} \)
  • k=5: \( C_6^5 x^{-4} = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4} \)
  • k=6: \( C_6^6 x^{-6} = x^{-6} = \frac{1}{x^6} \)
  • \( \left( x + \frac{1}{x} \right)^6 = x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + \frac{15}{x^2} + \frac{6}{x^4} + \frac{1}{x^6} \)

    • Ответ: \( x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + \frac{15}{x^2} + \frac{6}{x^4} + \frac{1}{x^6} \)

    8) \( \left( 2a + \frac{1}{2} \right)^6 \)

    Шаг 1. Применение формулы бинома Ньютона.

  • Здесь \( A=2a \), \( B=\frac{1}{2} \), \( n=6 \).

    • Шаг 2. Вычисление коэффициентов \( C_6^k \).

  • \( 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 \).

    • Шаг 3. Запись разложения.

  • Общий член: \( T_{k+1} = C_6^k (2a)^{6-k} \left( \frac{1}{2} \right)^k = C_6^k 2^{6-k} a^{6-k} 2^{-k} = C_6^k 2^{6-2k} a^{6-k} \).
  • k=0: \( C_6^0 2^6 a^6 = 1 \cdot 64 a^6 = 64 a^6 \)
  • k=1: \( C_6^1 2^4 a^5 = 6 \cdot 16 a^5 = 96 a^5 \)
  • k=2: \( C_6^2 2^2 a^4 = 15 \cdot 4 a^4 = 60 a^4 \)
  • k=3: \( C_6^3 2^0 a^3 = 20 \cdot 1 a^3 = 20 a^3 \)
  • k=4: \( C_6^4 2^{-2} a^2 = 15 \cdot \frac{1}{4} a^2 = \frac{15}{4} a^2 \)
  • k=5: \( C_6^5 2^{-4} a^1 = 6 \cdot \frac{1}{16} a = \frac{3}{8} a \)
  • k=6: \( C_6^6 2^{-6} a^0 = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64} \)
  • \( \left( 2a + \frac{1}{2} \right)^6 = 64 a^6 + 96 a^5 + 60 a^4 + 20 a^3 + \frac{15}{4} a^2 + \frac{3}{8} a + \frac{1}{64} \)

    • Ответ: \( 64 a^6 + 96 a^5 + 60 a^4 + 20 a^3 + \frac{15}{4} a^2 + \frac{3}{8} a + \frac{1}{64} \)

    Что применять при решении

    Факториал
    Произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). По определению, \( 0! = 1 \). Используется для упрощения выражений и в формулах комбинаторики.
    \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \); \( n! = n \cdot (n-1)! \).
    Размещения
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов и расположить их в определенном порядке. Порядок важен.
    \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
    Сочетания
    Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) различных элементов, без учета порядка выбора. Порядок не важен.
    \( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
    Свойство числа сочетаний (Сложение)
    Формула, связывающая соседние коэффициенты в треугольнике Паскаля. Упрощает вычисления сумм сочетаний.
    \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)
    Формула бинома Ньютона
    Формула для разложения степени двучлена \( (a+b)^n \) в сумму одночленов.
    \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)
    Общий член бинома Ньютона
    Формула для нахождения \( (k+1) \)-го члена разложения \( (a+b)^n \).
    \( T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 11

    1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.