ГДЗ: Упражнение 119 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Область определения и множество значений.

• Функция определена для любого действительного числа: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
• Так как показатель степени (6) — четное натуральное число, значение функции всегда неотрицательно: \( E(y) = [0; +\infty) \).

Шаг 2: График.

• График является параболой шестого порядка, симметричной относительно оси \( Oy \) (четная функция).
• Ветви направлены вверх, вершина находится в начале координат \((0, 0)\).

Шаг 3: Ограниченность.

• Функция имеет наименьшее значение \( y = 0 \), поэтому она ограничена снизу.
• Множество значений не ограничено сверху, поэтому функция не ограничена сверху.

Шаг 1: Область определения и множество значений.

• Функция определена для любого действительного числа: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
• Так как показатель степени (5) — нечетное натуральное число, множество значений охватывает все действительные числа: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).

Шаг 2: График.

• График симметричен относительно начала координат (нечетная функция) и проходит через \((0, 0)\) и \((1, 1)\).
• Функция строго возрастает на всей области определения.

Шаг 3: Ограниченность.

• Поскольку множество значений \( E(y) = (-\infty; +\infty) \), функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Шаг 1: Область определения и множество значений.

• Функция определена для любого действительного числа: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
• Так как показатель степени (4) — четное натуральное число, значение функции всегда неотрицательно: \( E(y) = [0; +\infty) \).

Шаг 2: График.

• График является параболой четвертого порядка, похожей на \( y = x^6 \) и \( y = x^2 \). Симметричен относительно оси \( Oy \).

Шаг 3: Ограниченность.

• Функция имеет наименьшее значение \( y = 0 \), поэтому она ограничена снизу.
• Функция не ограничена сверху.

Шаг 1: Область определения и множество значений.

• Функция \( y = \frac{1}{x^2} \). Область определения: \( x \ne 0 \), т.е. \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• Так как \( x^2 > 0 \), то \( y = \frac{1}{x^2} > 0 \). Множество значений: \( E(y) = (0; +\infty) \).

Шаг 2: График.

• График симметричен относительно оси \( Oy \).
• Имеет вертикальную асимптоту \( x = 0 \) и горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).

Шаг 3: Ограниченность.

• Так как \( y > 0 \), функция ограничена снизу (например, числом \( C_1 = 0 \)).
• Значения функции могут быть сколь угодно большими при \( x \to 0 \), поэтому функция не ограничена сверху.

Шаг 1: Область определения и множество значений.

• Функция \( y = \frac{1}{x^3} \). Область определения: \( x \ne 0 \), т.е. \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• Множество значений: \( E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

Шаг 2: График.

• График симметричен относительно начала координат (нечетная функция).
• Имеет вертикальную асимптоту \( x = 0 \) и горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).

Шаг 3: Ограниченность.

• Поскольку множество значений охватывает отрицательные и положительные числа, функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Шаг 1: Область определения и множество значений.

• Показатель степени \( p = e \approx 2.718 \) — нецелое действительное число. В этом случае степенная функция \( y = x^p \) определяется только для неотрицательных значений \( x \): \( D(y) = [0; +\infty) \).
• Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).

Шаг 2: График.

• Поскольку \( e > 1 \), функция возрастает на всей области определения. График похож на \( y = x^3 \) при \( x \ge 0 \). Проходит через \((0, 0)\) и \((1, 1)\).

Шаг 3: Ограниченность.

• Функция имеет наименьшее значение \( y = 0 \), поэтому она ограничена снизу.
• Функция не ограничена сверху.