ГДЗ: Упражнение 123 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразование графика.

• Базовая функция: парабола \( y = x^2 \).
• Функция \( y = - (x - 2)^2 - 1 \) получена из \( y = x^2 \) сдвигом вправо на 2 единицы, отражением относительно оси \( Ox \) и сдвигом вниз на 1 единицу.
• График — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \((2; -1)\).

Шаг 2: Область определения и множество значений.

• Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений: \( E(y) = (-\infty; -1] \).

Шаг 3: Монотонность и ограниченность.

• Функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 2] \).
• Функция убывает на промежутке \( [2; +\infty) \).
• Функция ограничена сверху числом \( C_2 = -1 \) (поскольку \( y \le -1 \)).
• Функция не ограничена снизу.

Шаг 4: Наибольшее/наименьшее значение.

• Наибольшее значение: \( \max y = -1 \) (достигается при \( x = 2 \)).
• Наименьшего значения нет.

Шаг 1: Преобразование графика.

• Базовая функция: парабола \( y = x^2 \).
• Функция \( y = (x + 3)^2 + 2 \) получена из \( y = x^2 \) сдвигом влево на 3 единицы и сдвигом вверх на 2 единицы.
• График — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке \((-3; 2)\).

Шаг 2: Область определения и множество значений.

• Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
• Множество значений: \( E(y) = [2; +\infty) \).

Шаг 3: Монотонность и ограниченность.

• Функция убывает на промежутке \( (-\infty; -3] \).
• Функция возрастает на промежутке \( [-3; +\infty) \).
• Функция ограничена снизу числом \( C_1 = 2 \) (поскольку \( y \ge 2 \)).
• Функция не ограничена сверху.

Шаг 4: Наибольшее/наименьшее значение.

• Наименьшее значение: \( \min y = 2 \) (достигается при \( x = -3 \)).
• Наибольшего значения нет.