Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 6 / Задание 129

ГДЗ: Упражнение 129 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 39, 46, 47
Глава: Глава 2
Параграф: § 6 - Степенная функция, её свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

129 упражнение:

Построить график функции и указать её область определения, множество значений и промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):

1) \( y = |x|^{1/3} \)

Анализ функции:

  • График \( y = |x|^{1/3} \) получен из графика \( y = x^{1/3} \) отражением его части при \( x \ge 0 \) относительно оси \( Oy \) (четная функция).
  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
  • Функция убывает на \( (-\infty; 0] \).
  • Функция возрастает на \( [0; +\infty) \).
  • Функция ограничена снизу (\( y \ge 0 \)).
  • Функция не ограничена сверху.
2) \( y = |x|^{1/5} \)

Анализ функции:

  • График \( y = |x|^{1/5} \) получен из графика \( y = x^{1/5} \) отражением его части при \( x \ge 0 \) относительно оси \( Oy \) (четная функция).
  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
  • Функция убывает на \( (-\infty; 0] \).
  • Функция возрастает на \( [0; +\infty) \).
  • Функция ограничена снизу (\( y \ge 0 \)).
  • Функция не ограничена сверху.
3) \( y = |x|^3 + 1 \)

Анализ функции:

  • График \( y = |x|^3 + 1 \) получен из \( y = x^3 \) (при \( x \ge 0 \)) отражением относительно оси \( Oy \) и сдвигом вверх на 1. Вершина в \((0; 1)\).
  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = [1; +\infty) \).
  • Функция убывает на \( (-\infty; 0] \).
  • Функция возрастает на \( [0; +\infty) \).
  • Функция ограничена снизу (\( y \ge 1 \)).
  • Функция не ограничена сверху.
4) \( y = |x|^{1/6} - 2 \)

Анализ функции:

  • Функция \( y = |x|^{1/6} - 2 = \sqrt[6]{|x|} - 2 \). Область определения \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = [-2; +\infty) \) (так как \( \sqrt[6]{|x|} \ge 0 \), то \( y \ge -2 \)).
  • Функция убывает на \( (-\infty; 0] \).
  • Функция возрастает на \( [0; +\infty) \).
  • Функция ограничена снизу (\( y \ge -2 \)).
  • Функция не ограничена сверху.
5) \( y = |x + 2|^{1/3} \)

Анализ функции:

  • График \( y = |x + 2|^{1/3} \) получен из \( y = |x|^{1/3} \) сдвигом на 2 единицы влево. Вершина в \((-2; 0)\).
  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
  • Функция убывает на \( (-\infty; -2] \).
  • Функция возрастает на \( [-2; +\infty) \).
  • Функция ограничена снизу (\( y \ge 0 \)).
  • Функция не ограничена сверху.
6) \( y = |2x|^{-1} \)

Анализ функции:

  • Функция \( y = \frac{1}{|2x|} = \frac{1}{2|x|} \).
  • Область определения: \( |2x| \ne 0 \), т.е. \( x \ne 0 \). \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = (0; +\infty) \) (т.к. \( |x| > 0 \)).
  • Функция возрастает на \( (-\infty; 0) \).
  • Функция убывает на \( (0; +\infty) \).
  • Функция ограничена снизу (\( y > 0 \)).
  • Функция не ограничена сверху.

Что применять при решении

Степенная функция
Функция вида \( y = x^p \), где \( p \) — заданное действительное число. Свойства функции зависят от свойств степени с действительным показателем.
\( y = x^p \)
Функция, ограниченная снизу
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной снизу на множестве \( X \), если существует число \( C_1 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \ge C_1 \).
\( f(x) \ge C_1 \)
Функция, ограниченная сверху
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной сверху на множестве \( X \), если существует число \( C_2 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \le C_2 \).
\( f(x) \le C_2 \)
Монотонность степенной функции (при x > 0)
При \( x > 0 \) степенная функция \( y = x^p \) является:
1. Возрастающей, если \( p > 0 \).
2. Убывающей, если \( p < 0 \).
\( p > 0 \Rightarrow y \uparrow \text{ при } x > 0 \); \( p < 0 \Rightarrow y \downarrow \text{ при } x > 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 6

119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.