Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 6 / Задание 130

ГДЗ: Упражнение 130 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 39, 46, 47
Глава: Глава 2
Параграф: § 6 - Степенная функция, её свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

130 упражнение:

Найти координаты точки пересечения графиков функций:

1) \( y = \sqrt[5]{x} \) и \( y = x^5 \)

Шаг 1: Составление уравнения.

  • Точки пересечения графиков находятся из равенства функций: \( \sqrt[5]{x} = x^5 \).

Шаг 2: Решение уравнения.

  • Возведем обе части уравнения в пятую степень:
    \( (\sqrt[5]{x})^5 = (x^5)^5 \Rightarrow x = x^{25} \).
  • Перенесем все в одну часть и разложим на множители:
    \( x^{25} - x = 0 \Rightarrow x(x^{24} - 1) = 0 \).
  • Отсюда имеем два случая:
    1) \( x = 0 \).
    2) \( x^{24} - 1 = 0 \Rightarrow x^{24} = 1 \).
  • Уравнение \( x^{24} = 1 \) имеет два действительных корня: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Шаг 3: Нахождение координат.

  • Если \( x = 0 \), то \( y = 0^5 = 0 \). Точка: \( (0, 0) \).
  • Если \( x = 1 \), то \( y = 1^5 = 1 \). Точка: \( (1, 1) \).
  • Если \( x = -1 \), то \( y = (-1)^5 = -1 \). Точка: \( (-1, -1) \).

Ответ: Координаты точек пересечения: \( (0, 0), (1, 1), (-1, -1) \).

2) \( y = \sqrt[7]{x} \) и \( y = x^7 \)

Шаг 1: Составление уравнения.

  • Точки пересечения графиков находятся из равенства функций: \( \sqrt[7]{x} = x^7 \).

Шаг 2: Решение уравнения.

  • Возведем обе части уравнения в седьмую степень:
    \( (\sqrt[7]{x})^7 = (x^7)^7 \Rightarrow x = x^{49} \).
  • Перенесем все в одну часть и разложим на множители:
    \( x^{49} - x = 0 \Rightarrow x(x^{48} - 1) = 0 \).
  • Отсюда имеем два случая:
    1) \( x = 0 \).
    2) \( x^{48} - 1 = 0 \Rightarrow x^{48} = 1 \).
  • Уравнение \( x^{48} = 1 \) имеет два действительных корня (поскольку степень четная): \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Шаг 3: Нахождение координат.

  • Если \( x = 0 \), то \( y = 0^7 = 0 \). Точка: \( (0, 0) \).
  • Если \( x = 1 \), то \( y = 1^7 = 1 \). Точка: \( (1, 1) \).
  • Если \( x = -1 \), то \( y = (-1)^7 = -1 \). Точка: \( (-1, -1) \).

Ответ: Координаты точек пересечения: \( (0, 0), (1, 1), (-1, -1) \).

Что применять при решении

Степенная функция
Функция вида \( y = x^p \), где \( p \) — заданное действительное число. Свойства функции зависят от свойств степени с действительным показателем.
\( y = x^p \)
Функция, ограниченная снизу
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной снизу на множестве \( X \), если существует число \( C_1 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \ge C_1 \).
\( f(x) \ge C_1 \)
Функция, ограниченная сверху
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной сверху на множестве \( X \), если существует число \( C_2 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \le C_2 \).
\( f(x) \le C_2 \)
Монотонность степенной функции (при x > 0)
При \( x > 0 \) степенная функция \( y = x^p \) является:
1. Возрастающей, если \( p > 0 \).
2. Убывающей, если \( p < 0 \).
\( p > 0 \Rightarrow y \uparrow \text{ при } x > 0 \); \( p < 0 \Rightarrow y \downarrow \text{ при } x > 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 6

119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.