ГДЗ: Упражнение 125 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Анализ функций:

• Функция \( y = x^{1/3} = \sqrt[3]{x} \):
  Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  Множество значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).
  Функция возрастающая.
• Функция \( y = x^3 \):
  Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  Множество значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).
  Функция возрастающая.

Построение графика:

Графики обеих функций проходят через точки \((-1, -1)\), \((0, 0)\), \((1, 1)\). Функции являются взаимно обратными, поэтому их графики симметричны относительно прямой \( y = x \).

Анализ функций:

• Функция \( y = x^{1/4} = \sqrt[4]{x} \):
  Показатель \( \frac{1}{4} \) — положительное, нецелое.
  Область определения: \( D(y) = [0; +\infty) \).
  Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
  Функция возрастающая.
• Функция \( y = x^4 \):
  Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
  Функция четная.

Построение графика:

При \( x \ge 0 \) функция \( y = x^{1/4} \) возрастает медленнее, чем \( y = x \) (график выпуклый вверх), а функция \( y = x^4 \) возрастает быстрее (график выпуклый вниз). Обе функции проходят через точки \((0, 0)\) и \((1, 1)\).

Анализ функций:

• Функция \( y = x^2 \):
  Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
  График — парабола, симметричная относительно \( Oy \).
• Функция \( y = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \):
  Область определения: \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
  Множество значений: \( E(y) = (0; +\infty) \).
  График симметричен относительно \( Oy \), имеет асимптоты \( x=0 \) и \( y=0 \).

Построение графика:

Графики пересекаются в точках, где \( x^2 = x^{-2} \), т.е. \( x^4 = 1 \). Это точки \((-1, 1)\) и \((1, 1)\). График \( y = x^2 \) — парабола, график \( y = x^{-2} \) — две ветви над осью \( Ox \).

Анализ функций:

• Функция \( y = x^{2/5} = \sqrt[5]{x^2} \):
  Поскольку степень \( \frac{2}{5} = 0,4 \) — нецелое число, в общем случае \( D(y) = [0; +\infty) \). Однако, поскольку \( x^{2/5} = (x^2)^{1/5} = \sqrt[5]{x^2} \), а под корнем нечетной степени находится квадрат, функция определена для всех \( x \).
  Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
  Функция четная.
• Функция \( y = x^{5/2} = \sqrt{x^5} \):
  Показатель \( \frac{5}{2} = 2,5 \) — нецелое число.
  Область определения: \( D(y) = [0; +\infty) \).
  Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
  Функция возрастающая.

Построение графика:

Обе функции определены и неотрицательны на \( [0; +\infty) \) и проходят через \((0, 0)\) и \((1, 1)\). При \( x > 1 \) \( y = x^{5/2} \) возрастает быстрее (\( 2,5 > 1 \)), а \( y = x^{2/5} \) — медленнее (\( 0 < 0,4 < 1 \)).