Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 6 / Задание 127

ГДЗ: Упражнение 127 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 39, 46, 47
Глава: Глава 2
Параграф: § 6 - Степенная функция, её свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

127 упражнение:

Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу):

1) \( y = (x - 2)^3 \)

Анализ функции:

  • График получен сдвигом графика \( y = x^3 \) на 2 единицы вправо.
  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Функция возрастает на всем \( (-\infty; +\infty) \).
  • Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
2) \( y = (x + 1)^6 \)

Анализ функции:

  • График получен сдвигом графика \( y = x^6 \) на 1 единицу влево. Вершина в \((-1; 0)\).
  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
  • Функция убывает на \( (-\infty; -1] \).
  • Функция возрастает на \( [-1; +\infty) \).
  • Функция ограничена снизу (\( y \ge 0 \)).
  • Функция не ограничена сверху.
3) \( y = (x + 2)^{-2} \)

Анализ функции:

  • График получен сдвигом графика \( y = x^{-2} \) на 2 единицы влево. Вертикальная асимптота \( x = -2 \), горизонтальная \( y = 0 \).
  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = (0; +\infty) \).
  • Функция возрастает на \( (-\infty; -2) \).
  • Функция убывает на \( (-2; +\infty) \).
  • Функция ограничена снизу (\( y > 0 \)).
  • Функция не ограничена сверху.
4) \( y = (x - 1)^{-3} \)

Анализ функции:

  • График получен сдвигом графика \( y = x^{-3} \) на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота \( x = 1 \), горизонтальная \( y = 0 \).
  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \).
  • Множество значений: \( E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
  • Функция убывает на \( (-\infty; 1) \) и на \( (1; +\infty) \).
  • Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

Что применять при решении

Степенная функция
Функция вида \( y = x^p \), где \( p \) — заданное действительное число. Свойства функции зависят от свойств степени с действительным показателем.
\( y = x^p \)
Функция, ограниченная снизу
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной снизу на множестве \( X \), если существует число \( C_1 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \ge C_1 \).
\( f(x) \ge C_1 \)
Функция, ограниченная сверху
Функция \( y = f(x) \), определенная на множестве \( X \), называется ограниченной сверху на множестве \( X \), если существует число \( C_2 \) такое, что для любого \( x \in X \) выполняется неравенство \( f(x) \le C_2 \).
\( f(x) \le C_2 \)
Монотонность степенной функции (при x > 0)
При \( x > 0 \) степенная функция \( y = x^p \) является:
1. Возрастающей, если \( p > 0 \).
2. Убывающей, если \( p < 0 \).
\( p > 0 \Rightarrow y \uparrow \text{ при } x > 0 \); \( p < 0 \Rightarrow y \downarrow \text{ при } x > 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 6

119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.