ГДЗ: Упражнение 126 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Составление неравенства.

• График \( y = x^8 \) лежит выше графика \( y = x \), когда \( x^8 > x \).
• \( x^8 - x > 0 \Rightarrow x(x^7 - 1) > 0 \).

Шаг 2: Метод интервалов.

• Найдем корни выражения \( x(x^7 - 1) \):
  \( x = 0 \) или \( x^7 = 1 \Rightarrow x = 1 \).
• Рассмотрим знаки выражения \( x(x^7 - 1) \) на интервалах:
  На \( (-\infty; 0) \): \( x < 0 \), \( x^7 - 1 < 0 \). Произведение \( ( - ) \cdot ( - ) = + \). Выше.
  На \( (0; 1) \): \( x > 0 \), \( x^7 - 1 < 0 \). Произведение \( ( + ) \cdot ( - ) = - \). Ниже.
  На \( (1; +\infty) \): \( x > 0 \), \( x^7 - 1 > 0 \). Произведение \( ( + ) \cdot ( + ) = + \). Выше.

Ответ: График \( y = x^8 \) лежит выше \( y = x \) на промежутках \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \). График лежит ниже \( y = x \) на промежутке \( (0; 1) \).

Шаг 1: Область определения.

• Функция \( y = x^{1/5} \) определена для всех \( x \in (-\infty; +\infty) \).
• Однако, для сравнения удобно рассмотреть случай \( x > 0 \).

Шаг 2: Сравнение при \( x > 0 \).

• График \( y = x^{1/5} \) лежит выше \( y = x \), когда \( x^{1/5} > x \).
  \( x^{1/5} - x > 0 \Rightarrow x(x^{-4/5} - 1) > 0 \).
• Поскольку \( x > 0 \), неравенство эквивалентно \( x^{-4/5} - 1 > 0 \), или \( x^{-4/5} > 1 \).
• \( x^{-4/5} > 1 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[5]{x^4}} > 1 \Rightarrow 1 > \sqrt[5]{x^4} \). Так как обе части положительны, возведем в 5-ю степень: \( 1^5 > (\sqrt[5]{x^4})^5 \Rightarrow 1 > x^4 \).
• Так как \( x > 0 \), то \( 1 > x^4 \) выполняется для \( 0 < x < 1 \).
• График лежит выше \( y = x \) на промежутке \( (0; 1) \).
• График лежит ниже \( y = x \) на промежутке \( (1; +\infty) \).

Шаг 3: Сравнение при \( x \le 0 \).

• При \( x = 0 \): \( 0^{1/5} = 0 \). Точки \((0, 0)\) совпадают.
• При \( x < 0 \): \( y = x^{1/5} = \sqrt[5]{x} \) — отрицательное число. \( y = x \) — отрицательное число.
  Например, \( x = -32 \): \( (-32)^{1/5} = -2 \). \( y = -32 \). \( -2 > -32 \).
  Таким образом, \( x^{1/5} > x \) при \( x < 0 \). График выше на \( (-\infty; 0) \).

Ответ: График \( y = x^{1/5} \) лежит выше \( y = x \) на промежутках \( (-\infty; 0) \cup (0; 1) \). График лежит ниже \( y = x \) на промежутке \( (1; +\infty) \).