ГДЗ: Упражнение 128 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Составление неравенства.

• График \( y = x^5 \) лежит выше графика \( y = x \), когда \( x^5 > x \).
• \( x^5 - x > 0 \Rightarrow x(x^4 - 1) > 0 \Rightarrow x(x^2 - 1)(x^2 + 1) > 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) > 0 \).

Шаг 2: Метод интервалов.

• Корни: \( x = -1 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \). Множитель \( x^2 + 1 \) всегда положителен.
• Рассмотрим знаки выражения \( x(x - 1)(x + 1) \) на интервалах:
  На \( (-\infty; -1) \): \( - \cdot - \cdot - = - \). Ниже.
  На \( (-1; 0) \): \( - \cdot - \cdot + = + \). Выше.
  На \( (0; 1) \): \( + \cdot - \cdot + = - \). Ниже.
  На \( (1; +\infty) \): \( + \cdot + \cdot + = + \). Выше.

Ответ: График \( y = x^5 \) лежит выше \( y = x \) на промежутках \( (-1; 0) \cup (1; +\infty) \). График лежит ниже \( y = x \) на промежутках \( (-\infty; -1) \cup (0; 1) \).

Шаг 1: Составление неравенства.

• График \( y = x^{1/5} \) лежит выше графика \( y = x \), когда \( x^{1/5} > x \). (Решение аналогично №126(2)).

Шаг 2: Анализ на интервалах.

• На \( (0; 1) \): \( x^{1/5} > x \). Выше. (Так как показатель \( 1/5 < 1 \)).
• На \( (1; +\infty) \): \( x^{1/5} < x \). Ниже.
• На \( (-\infty; 0) \): \( x^{1/5} = \sqrt[5]{x} \). \( \sqrt[5]{x} > x \) (поскольку \( x \) — отрицательное число, а \( |\sqrt[5]{x}| < |x| \) при \( |x| > 1 \), и наоборот при \( |x| < 1 \).
  Например, \( x = -32 \Rightarrow -2 > -32 \). Всегда \( \sqrt[5]{x} > x \) при \( x < 0 \). Выше.

Ответ: График \( y = x^{1/5} \) лежит выше \( y = x \) на промежутках \( (-\infty; 0) \cup (0; 1) \). График лежит ниже \( y = x \) на промежутке \( (1; +\infty) \).