ГДЗ: Упражнение 124 - § 6 (Степенная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Сравнение: \( 3,1^7 \) и \( 4,3^7 \).

• Рассмотрим степенную функцию \( f(x) = x^7 \). Показатель \( p = 7 > 0 \), следовательно, функция является возрастающей на \( (0; +\infty) \).
• Сравним основания: \( 3,1 < 4,3 \).
• Поскольку функция возрастает, сохраняется знак неравенства: \( 3,1^7 < 4,3^7 \).

Ответ: \( 3,1^7 < 4,3^7 \).

Сравнение: \( (\frac{10}{11})^3 \) и \( (\frac{11}{12})^3 \).

• Рассмотрим функцию \( f(x) = x^3 \). Показатель \( p = 3 > 0 \), функция возрастающая.
• Сравним основания: \( \frac{10}{11} \) и \( \frac{11}{12} \). Приведем к общему знаменателю \( 11 \cdot 12 = 132 \):
  \( \frac{10}{11} = \frac{10 \cdot 12}{132} = \frac{120}{132} \);
  \( \frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 11}{132} = \frac{121}{132} \).
• Так как \( \frac{120}{132} < \frac{121}{132} \), то \( \frac{10}{11} < \frac{11}{12} \).
• Поскольку функция возрастает, сохраняется знак неравенства: \( (\frac{10}{11})^3 < (\frac{11}{12})^3 \).

Ответ: \( (\frac{10}{11})^3 < (\frac{11}{12})^3 \).

Сравнение: \( 0,3^8 \) и \( 0,2^8 \).

• Рассмотрим функцию \( f(x) = x^8 \). Показатель \( p = 8 > 0 \), функция возрастающая на \( [0; +\infty) \).
• Сравним основания: \( 0,3 > 0,2 \).
• Поскольку функция возрастает, сохраняется знак неравенства: \( 0,3^8 > 0,2^8 \).

Ответ: \( 0,3^8 > 0,2^8 \).

Сравнение: \( 2,5^2 \) и \( 2,6^2 \).

• Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 \). Показатель \( p = 2 > 0 \), функция возрастающая на \( [0; +\infty) \).
• Сравним основания: \( 2,5 < 2,6 \).
• Поскольку функция возрастает, сохраняется знак неравенства: \( 2,5^2 < 2,6^2 \).

Ответ: \( 2,5^2 < 2,6^2 \).

Сравнение: \( (\frac{7}{9})^{-2} \) и \( (\frac{8}{10})^{-2} \).

• Рассмотрим функцию \( f(x) = x^{-2} \). Показатель \( p = -2 < 0 \), следовательно, функция является убывающей на \( (0; +\infty) \).
• Сравним основания:
  \( \frac{7}{9} = \frac{70}{90} \);
  \( \frac{8}{10} = \frac{8 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{72}{90} \).
• Сравнение оснований: \( \frac{7}{9} < \frac{8}{10} \).
• Поскольку функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный: \( (\frac{7}{9})^{-2} > (\frac{8}{10})^{-2} \).

Ответ: \( (\frac{7}{9})^{-2} > (\frac{8}{10})^{-2} \).

Сравнение: \( (\frac{14}{15})^{-6} \) и \( (\frac{16}{15})^{-6} \).

• Рассмотрим функцию \( f(x) = x^{-6} \). Показатель \( p = -6 < 0 \), функция убывающая на \( (0; +\infty) \).
• Сравним основания: \( \frac{14}{15} \) и \( \frac{16}{15} \).
• Основания: \( \frac{14}{15} < \frac{16}{15} \).
• Поскольку функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный: \( (\frac{14}{15})^{-6} > (\frac{16}{15})^{-6} \).

Ответ: \( (\frac{14}{15})^{-6} > (\frac{16}{15})^{-6} \).

Сравнение: \( (\sqrt[3]{4})^{-\frac{2}{3}} \) и \( (\sqrt{4})^{-\frac{2}{3}} \).

• Рассмотрим функцию \( f(x) = x^{-\frac{2}{3}} \). Показатель \( p = -\frac{2}{3} < 0 \), функция убывающая на \( (0; +\infty) \).
• Сравним основания: \( \sqrt[3]{4} \) и \( \sqrt{4} \).
  \( \sqrt[3]{4} = 4^{1/3} \); \( \sqrt{4} = 4^{1/2} \).
  Так как \( \frac{1}{3} < \frac{1}{2} \), то \( \sqrt[3]{4} < \sqrt{4} \).
• Поскольку функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный: \( (\sqrt[3]{4})^{-\frac{2}{3}} > (\sqrt{4})^{-\frac{2}{3}} \).

Ответ: \( (\sqrt[3]{4})^{-\frac{2}{3}} > (\sqrt{4})^{-\frac{2}{3}} \).

Сравнение: \( (2\sqrt{5})^{-6} \) и \( (6\sqrt{2})^{-6} \).

• Рассмотрим функцию \( f(x) = x^{-6} \). Показатель \( p = -6 < 0 \), функция убывающая на \( (0; +\infty) \).
• Сравним основания: \( 2\sqrt{5} \) и \( 6\sqrt{2} \). Внесем множители под корень:
  \( 2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{20} \);
  \( 6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72} \).
• Сравнение оснований: \( \sqrt{20} < \sqrt{72} \).
• Поскольку функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный: \( (2\sqrt{5})^{-6} > (6\sqrt{2})^{-6} \).

Ответ: \( (2\sqrt{5})^{-6} > (6\sqrt{2})^{-6} \).