ГДЗ: Упражнение 228 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Представим число \( 9 \) как степень с основанием \( 3 \): \( 9 = 3^2 \).
Неравенство примет вид: \( 3^x > 3^2 \).
Пояснение: Основание степени \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), показательная функция \( y = 3^x \) является возрастающей. Следовательно, знак неравенства сохраняется.

\( x > 2 \).

Ответ: \( (2; +\infty) \).

Представим число \( \frac{1}{4} \) как степень с основанием \( \frac{1}{2} \): \( \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2 \).
Неравенство примет вид: \( (\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2 \).
Пояснение: Основание степени \( a = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), показательная функция \( y = (\frac{1}{2})^x \) является убывающей. Следовательно, знак неравенства меняется на противоположный.

\( x < 2 \).

Ответ: \( (-\infty; 2) \).

Представим основание \( \frac{1}{4} \) как \( (2^{-2}) \) или \( 2 \) как степень \( (\frac{1}{4}) \). Проще использовать основание \( 2 \):
\( (2^{-2})^x < 2^1 \implies 2^{-2x} < 2^1 \).
Пояснение: Основание степени \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( -2x < 1 \).
Разделим на \( -2 \), меняя знак неравенства: \( x > -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( (-\frac{1}{2}; +\infty) \).

Приведем обе части к основанию \( 2 \):
\( (2^2)^x < 2^{-1} \implies 2^{2x} < 2^{-1} \).
Пояснение: Основание \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( 2x < -1 \implies x < -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( (-\infty; -\frac{1}{2}) \).

Представим \( \frac{1}{2} \) как степень с основанием \( 2 \): \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \).
Неравенство примет вид: \( 2^{5x} \ge 2^{-1} \).
Пояснение: Основание \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( 5x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{5} \).

Ответ: \( [-\frac{1}{5}; +\infty) \).

Представим \( \frac{1}{9} \) как степень с основанием \( \frac{1}{3} \): \( \frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2 \).
Неравенство примет вид: \( (\frac{1}{3})^{x - 1} < (\frac{1}{3})^2 \).
Пояснение: Основание \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный.

\( x - 1 > 2 \implies x > 3 \).

Ответ: \( (3; +\infty) \).