ГДЗ: Упражнение 229 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Представим \( \sqrt{5} \) как степень с основанием \( 5 \): \( \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \).
Неравенство примет вид: \( 5^{x^2 - 1} \le 5^{\frac{1}{2}} \).
Пояснение: Основание \( a = 5 \). Так как \( 5 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( x^2 - 1 \le \frac{1}{2} \).
\( x^2 \le 1 + \frac{1}{2} \implies x^2 \le 1,5 \).

Решаем квадратное неравенство. Корни уравнения \( x^2 = 1,5 \) это \( x = \pm \sqrt{1,5} \).
Так как парабола \( y = x^2 - 1,5 \) ветвями вверх, неравенство \( x^2 - 1,5 \le 0 \) выполняется между корнями.

\( -\sqrt{1,5} \le x \le \sqrt{1,5} \).

Ответ: \( [-\sqrt{1,5}; \sqrt{1,5}] \).

Представим \( 9 \) как степень с основанием \( 3 \): \( 9 = 3^2 \).
Неравенство примет вид: \( 3^{2x} > 3^2 \).
Пояснение: Основание \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( 2x > 2 \implies x > 1 \).

Ответ: \( (1; +\infty) \).

Представим \( 1 \) как степень с основанием \( 3 \): \( 1 = 3^0 \).
Неравенство примет вид: \( 3^{x^2 - 4} > 3^0 \).
Пояснение: Основание \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( x^2 - 4 > 0 \).
\( x^2 > 4 \).

Решаем квадратное неравенство. Корни уравнения \( x^2 = 4 \) это \( x = \pm 2 \).
Так как парабола \( y = x^2 - 4 \) ветвями вверх, неравенство \( x^2 - 4 > 0 \) выполняется вне корней.

\( x < -2 \) или \( x > 2 \).

Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \).

Представим \( 1 \) как степень с основанием \( 5 \): \( 1 = 5^0 \).
Неравенство примет вид: \( 5^{2x^2 - 18} < 5^0 \).
Пояснение: Основание \( a = 5 \). Так как \( 5 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( 2x^2 - 18 < 0 \).
\( 2(x^2 - 9) < 0 \implies x^2 - 9 < 0 \).
\( x^2 < 9 \).

Решаем квадратное неравенство. Корни уравнения \( x^2 = 9 \) это \( x = \pm 3 \).
Неравенство \( x^2 - 9 < 0 \) выполняется между корнями.

\( -3 < x < 3 \).

Ответ: \( (-3; 3) \).