ГДЗ: Упражнение 236 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Необходимо найти, при каких \( x \) график функции \( y_1 = (\frac{1}{3})^x \) лежит выше графика функции \( y_2 = x + 1 \).

Рассмотрим уравнение \( (\frac{1}{3})^x = x + 1 \). Как было найдено в упр. 230 (1), графики пересекаются в единственной точке \( x = 0 \).

• При \( x = -1 \): \( y_1 = (\frac{1}{3})^{-1} = 3 \), \( y_2 = -1 + 1 = 0 \). \( 3 > 0 \), неравенство верно.
• При \( x = 1 \): \( y_1 = \frac{1}{3} \), \( y_2 = 1 + 1 = 2 \). \( \frac{1}{3} \not> 2 \), неравенство неверно.

Поскольку \( y_1 \) убывает, а \( y_2 \) возрастает, \( y_1 \) лежит выше \( y_2 \) левее точки пересечения \( x = 0 \).

Ответ: \( (-\infty; 0) \).

Необходимо найти, при каких \( x \) график функции \( y_1 = (\frac{1}{2})^x \) лежит ниже графика функции \( y_2 = x - \frac{1}{2} \).

Рассмотрим уравнение \( (\frac{1}{2})^x = x - \frac{1}{2} \). Как было найдено в упр. 230 (2), графики пересекаются в единственной точке \( x = 1 \).

• При \( x = 0 \): \( y_1 = (\frac{1}{2})^0 = 1 \), \( y_2 = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \). \( 1 \not< -\frac{1}{2} \), неравенство неверно.
• При \( x = 2 \): \( y_1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0,25 \), \( y_2 = 2 - \frac{1}{2} = 1,5 \). \( 0,25 < 1,5 \), неравенство верно.

Поскольку \( y_1 \) убывает, а \( y_2 \) возрастает, \( y_1 \) лежит ниже \( y_2 \) правее точки пересечения \( x = 1 \).

Ответ: \( (1; +\infty) \).

Необходимо найти, при каких \( x \) график \( y_1 = 2^x \) лежит ниже графика \( y_2 = 9 - \frac{1}{x} \).
Область определения \( x \ne 0 \).

Рассмотрим уравнение \( 2^x = 9 - \frac{1}{x} \). Функция \( y_1 = 2^x \) возрастает, а \( y_2 = 9 - \frac{1}{x} \) возрастает на \( (-\infty; 0) \) и на \( (0; +\infty) \).

• При \( x = 1 \): \( y_1 = 2^1 = 2 \), \( y_2 = 9 - 1 = 8 \). \( 2 < 8 \), неравенство верно.
• При \( x = 2 \): \( y_1 = 2^2 = 4 \), \( y_2 = 9 - \frac{1}{2} = 8,5 \). \( 4 < 8,5 \), неравенство верно.
• При \( x = 3 \): \( y_1 = 2^3 = 8 \), \( y_2 = 9 - \frac{1}{3} \approx 8,67 \). \( 8 < 8,67 \), неравенство верно.
• При \( x = 4 \): \( y_1 = 2^4 = 16 \), \( y_2 = 9 - \frac{1}{4} = 8,75 \). \( 16 \not< 8,75 \), неравенство неверно.

Видим, что точка пересечения \( x_0 \in (3; 4) \). Точное значение не находится элементарно.

Рассмотрим отрицательные \( x \). \( y_1 = 2^x \in (0; 1) \) при \( x < 0 \). \( y_2 = 9 - \frac{1}{x} > 9 \) при \( x < 0 \).
Так как \( y_1 < 1 \) и \( y_2 > 9 \) при \( x < 0 \), то \( y_1 < y_2 \) для всех \( x < 0 \).
\( (-\infty; 0) \) является частью решения.

В интервале \( (0; +\infty) \) функции пересекаются в точке \( x_0 \in (3; 4) \). Поскольку \( y_1 \) очень быстро растет, а \( y_2 \) растет медленно, \( y_1 \) лежит ниже \( y_2 \) левее точки пересечения \( x_0 \).

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (0; x_0) \), где \( x_0 \) — корень уравнения \( 2^x = 9 - \frac{1}{x} \), \( x_0 \in (3; 4) \).

Упростим правую часть \( y_2 \): \( y_2 = 2 - \frac{x - 1}{3} = 2 - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} - \frac{x}{3} \).
Необходимо найти, при каких \( x \) график \( y_1 = 3^x \) лежит выше графика прямой \( y_2 = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \).

Рассмотрим уравнение \( 3^x = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \). \( y_1 \) возрастает, \( y_2 \) убывает, значит, есть не более одной точки пересечения.

• При \( x = 1 \): \( y_1 = 3^1 = 3 \), \( y_2 = -\frac{1}{3} (1) + \frac{7}{3} = \frac{6}{3} = 2 \). \( 3 \not> 2 \). Ошибка в проверке, \( 3 > 2 \), неравенство верно.
• При \( x = 0 \): \( y_1 = 3^0 = 1 \), \( y_2 = 0 + \frac{7}{3} \approx 2,33 \). \( 1 \not> 2,33 \), неравенство неверно.
• При \( x = 2 \): \( y_1 = 3^2 = 9 \), \( y_2 = -\frac{2}{3} + \frac{7}{3} = \frac{5}{3} \approx 1,67 \). \( 9 > 1,67 \), неравенство верно.

Проверим целую точку \( x = 1 \): \( 3^1 = 3 \), \( 2 - \frac{1-1}{3} = 2 \). \( 3 > 2 \).
Проверим точку \( x = 0 \): \( 3^0 = 1 \), \( 2 - \frac{0-1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3} \). \( 1 \le 2\frac{1}{3} \).

Точка пересечения \( x_0 \in (0; 1) \). Поскольку \( y_1 \) быстро растет, \( y_1 \) лежит выше \( y_2 \) правее точки пересечения \( x_0 \).

Ответ: \( (x_0; +\infty) \), где \( x_0 \) — корень уравнения \( 3^x = 2 - \frac{x - 1}{3} \), \( x_0 \in (0; 1) \).