ГДЗ: Упражнение 237 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для графического решения построим графики функций \( y_1 = 2^x \) и \( y_2 = 3 - 2x - x^2 \).
\( y_1 = 2^x \) — возрастающая показательная функция. \( y_2 = -x^2 - 2x + 3 \) — парабола, ветви направлены вниз. Вершина параболы: \( x_в = -\frac{-2}{2(-1)} = -1 \), \( y_в = 3 - 2(-1) - (-1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4 \). Корни параболы: \( -x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \). \( x_1 = -3, x_2 = 1 \).

Проверим целые точки:

• При \( x = 0 \): \( y_1 = 2^0 = 1 \), \( y_2 = 3 - 0 - 0 = 3 \). (\( y_1 < y_2 \))
• При \( x = 1 \): \( y_1 = 2^1 = 2 \), \( y_2 = 3 - 2 - 1 = 0 \). (\( y_1 > y_2 \))

Видим, что первый корень \( x_1 \in (0; 1) \).

• При \( x = -3 \): \( y_1 = 2^{-3} = \frac{1}{8} \), \( y_2 = 3 - 2(-3) - (-3)^2 = 3 + 6 - 9 = 0 \). (\( y_1 > y_2 \))
• При \( x = -2 \): \( y_1 = 2^{-2} = \frac{1}{4} \), \( y_2 = 3 - 2(-2) - (-2)^2 = 3 + 4 - 4 = 3 \). (\( y_1 < y_2 \))

Видим, что второй корень \( x_2 \in (-3; -2) \).

Так как \( y_1 \) возрастает, а \( y_2 \) сначала возрастает, потом убывает, может быть максимум два корня. Мы нашли интервалы для двух корней.

Ответ: Два корня \( x_1 \in (0; 1) \) и \( x_2 \in (-3; -2) \).

Для графического решения построим графики функций \( y_1 = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x \) и \( y_2 = \sqrt{x} \).
Область определения: \( x \ge 0 \).

• График \( y_1 = (\frac{1}{3})^x \): Показательная функция, убывающая на \( [0; +\infty) \), проходит через \( (0; 1) \).
• График \( y_2 = \sqrt{x} \): Иррациональная функция, возрастающая на \( [0; +\infty) \), проходит через \( (0; 0) \).

Поскольку \( y_1 \) убывает, а \( y_2 \) возрастает, может быть не более одной точки пересечения. Проверим целые точки:

• При \( x = 0 \): \( y_1 = 1 \), \( y_2 = 0 \). (\( y_1 > y_2 \))
• При \( x = 1 \): \( y_1 = \frac{1}{3} \approx 0,33 \), \( y_2 = 1 \). (\( y_1 < y_2 \))

Единственный корень \( x_0 \in (0; 1) \).

Ответ: Единственный корень \( x_0 \in (0; 1) \).

Для графического решения построим графики функций \( y_1 = (\frac{1}{3})^x \) и \( y_2 = -\frac{3}{x} \).
Область определения: \( x \ne 0 \).

• График \( y_1 = (\frac{1}{3})^x \): Всегда положительная, убывающая.
• График \( y_2 = -\frac{3}{x} \): Гипербола, лежит в II и IV координатных четвертях.

Поскольку \( y_1 = (\frac{1}{3})^x \) всегда положительна, а \( y_2 = -\frac{3}{x} \) положительна только при \( x < 0 \), точки пересечения могут быть только при \( x < 0 \).
При \( x < 0 \), \( y_1 \) возрастает, а \( y_2 \) убывает. Значит, не более одной точки пересечения.

Проверим целые точки при \( x < 0 \):

• При \( x = -1 \): \( y_1 = (\frac{1}{3})^{-1} = 3 \), \( y_2 = -\frac{3}{-1} = 3 \).

Найдено единственное решение: \( x = -1 \).

Ответ: \( x = -1 \).

Для графического решения построим графики функций \( y_1 = (\frac{1}{2})^x \) и \( y_2 = x^2 - 1 \).
\( y_1 = (\frac{1}{2})^x \) — убывающая показательная функция. \( y_2 = x^2 - 1 \) — парабола, ветви вверх, вершина \( (0; -1) \), корни \( x = \pm 1 \).

• При \( x = 1 \): \( y_1 = \frac{1}{2} \), \( y_2 = 1^2 - 1 = 0 \). (\( y_1 \ne y_2 \))

Проверим целые точки:

• При \( x = 0 \): \( y_1 = 1 \), \( y_2 = -1 \). (\( y_1 > y_2 \))
• При \( x = 1 \): \( y_1 = 0,5 \), \( y_2 = 0 \). (\( y_1 > y_2 \))
• При \( x = 2 \): \( y_1 = 0,25 \), \( y_2 = 3 \). (\( y_1 < y_2 \))

Первый корень \( x_1 \in (1; 2) \).

• При \( x = -1 \): \( y_1 = 2 \), \( y_2 = 0 \). (\( y_1 > y_2 \))
• При \( x = -2 \): \( y_1 = 4 \), \( y_2 = 3 \). (\( y_1 > y_2 \))
• При \( x = -3 \): \( y_1 = 8 \), \( y_2 = 8 \). (\( y_1 = y_2 \)). Найдено: \( x = -3 \).

Ответ: Два корня \( x_1 \in (1; 2) \) и \( x_2 = -3 \).