ГДЗ: Упражнение 238 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Область допустимых значений (ОДЗ): Корень определен при \( x + 6 \ge 0 \), то есть \( x \ge -6 \).

Неравенство: \( 11^{\sqrt{x + 6}} > 11^x \).
Основание \( a = 11 \). Так как \( 11 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( \sqrt{x + 6} > x \).

Решаем иррациональное неравенство \( \sqrt{f(x)} > g(x) \). Оно эквивалентно совокупности двух систем:

Система 1:
\( g(x) < 0 \) и \( f(x) \ge 0 \).
\( x < 0 \) и \( x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6 \).
Решение Системы 1: \( [-6; 0) \).

Система 2:
\( g(x) \ge 0 \) и \( f(x) > (g(x))^2 \).
\( x \ge 0 \) и \( x + 6 > x^2 \).
Решаем \( x^2 - x - 6 < 0 \). Корни \( x^2 - x - 6 = 0 \): \( x_1 = -2, x_2 = 3 \).
Неравенство \( x^2 - x - 6 < 0 \) выполняется между корнями: \( -2 < x < 3 \).
Пересечение с условием \( x \ge 0 \): \( [0; 3) \).

Объединяем решения Системы 1 и Системы 2:
\( [-6; 0) \cup [0; 3) = [-6; 3) \).

Ответ: \( [-6; 3) \).

Область допустимых значений (ОДЗ): Корень определен при \( 30 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 30 \).

Неравенство: \( 0,3^{\sqrt{30 - x}} > 0,3^x \).
Основание \( a = 0,3 \). Так как \( 0 < 0,3 < 1 \), функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный.

\( \sqrt{30 - x} < x \).

Решаем иррациональное неравенство \( \sqrt{f(x)} < g(x) \). Оно эквивалентно системе:

1. \( f(x) \ge 0 \): \( 30 - x \ge 0 \implies x \le 30 \). (Совпадает с ОДЗ).

2. \( g(x) > 0 \): \( x > 0 \).

3. \( f(x) < (g(x))^2 \): \( 30 - x < x^2 \implies x^2 + x - 30 > 0 \).

Решаем квадратное неравенство \( x^2 + x - 30 > 0 \). Корни \( x^2 + x - 30 = 0 \): \( x_1 = -6, x_2 = 5 \).
Неравенство \( x^2 + x - 30 > 0 \) выполняется вне корней: \( x < -6 \) или \( x > 5 \).

Пересекаем все три условия:

• \( x \le 30 \)
• \( x > 0 \)
• \( x < -6 \) или \( x > 5 \)

Из второго и третьего условий: \( x \) не может быть \( < -6 \) и \( > 0 \) одновременно. Остается \( x > 5 \).

Пересечение \( x > 5 \) и \( x \le 30 \) дает \( 5 < x \le 30 \).

Ответ: \( (5; 30] \).