ГДЗ: Упражнение 230 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для графического решения построим графики функций \( y_1 = (\frac{1}{3})^x \) и \( y_2 = x + 1 \) и найдем абсциссы их точек пересечения.

• График \( y_1 = (\frac{1}{3})^x \): Показательная функция с основанием \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), убывает, проходит через точки \( (0; 1) \), \( (1; \frac{1}{3}) \), \( (-1; 3) \).
• График \( y_2 = x + 1 \): Прямая линия, проходит через точки \( (0; 1) \), \( (-1; 0) \).

Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке с координатами \( (0; 1) \).
Проверим подстановкой: \( (\frac{1}{3})^0 = 1 \), \( 0 + 1 = 1 \). \( 1 = 1 \).

Ответ: \( x = 0 \).

Для графического решения построим графики функций \( y_1 = (\frac{1}{2})^x \) и \( y_2 = x - \frac{1}{2} \) и найдем абсциссы их точек пересечения.

• График \( y_1 = (\frac{1}{2})^x \): Показательная функция с основанием \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), убывает, проходит через точки \( (0; 1) \), \( (1; \frac{1}{2}) \), \( (-1; 2) \).
• График \( y_2 = x - \frac{1}{2} \): Прямая линия, проходит через точки \( (\frac{1}{2}; 0) \), \( (0; -\frac{1}{2}) \), \( (1; \frac{1}{2}) \).

Из графиков видно, что они пересекаются в точке с координатами \( (1; \frac{1}{2}) \).
Проверим подстановкой: \( (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2} \), \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( x = 1 \).

Для графического решения построим графики функций \( y_1 = 3^{2 - x} \) и \( y_2 = -x - 7 \).

• График \( y_1 = 3^{2 - x} \): Показательная функция, которая является сдвинутым и отраженным графиком \( y = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x \). Функция убывает, всегда положительна (\( y > 0 \)).
• График \( y_2 = -x - 7 \): Прямая линия, всегда принимает отрицательные значения, т.к. \( -x - 7 < 0 \) при \( x > -7 \) (например, при \( x = 0 \), \( y = -7 \); при \( x = -7 \), \( y = 0 \)).

Поскольку левая часть \( 3^{2 - x} \) всегда положительна (\( 3^{2 - x} > 0 \)), а правая часть \( -x - 7 \) при большинстве значений \( x \) отрицательна (и только при \( x = -7 \) равна нулю, а при \( x < -7 \) положительна), необходимо проанализировать интервалы.

• При \( x > -7 \): \( y_2 < 0 \). Уравнение не имеет решений, так как \( y_1 > 0 \).
• При \( x = -7 \): \( y_1 = 3^{2 - (-7)} = 3^9 \ne 0 \). Уравнение не имеет решений.
• При \( x < -7 \): \( y_2 > 0 \). Необходимо найти точку пересечения. При \( x = -7 \), \( y_1 = 3^9 \), \( y_2 = 0 \). При \( x = -8 \), \( y_1 = 3^{10} \), \( y_2 = 1 \). Так как \( y_1 \) очень быстро растет (функция возрастает, поскольку \( y = 3^{-x} \cdot 3^2 \)), а \( y_2 \) растет медленно, и \( y_1(x) > y_2(x) \) для \( x < -7 \), они не пересекаются.

Вывод: Правая часть \( y_2 = -x - 7 \) и левая часть \( y_1 = 3^{2-x} \) (которая очень быстро растет) никогда не пересекаются.

Ответ: Решений нет.

Для графического решения построим графики функций \( y_1 = 4^x \) и \( y_2 = 11 - x \).

• График \( y_1 = 4^x \): Показательная функция с основанием \( 4 > 1 \), возрастает, проходит через точки \( (0; 1) \), \( (1; 4) \), \( (2; 16) \).
• График \( y_2 = 11 - x \): Прямая линия, убывает, проходит через точки \( (0; 11) \), \( (11; 0) \).

Проверим целые точки, где функции могут пересекаться:

• При \( x = 1 \): \( y_1 = 4^1 = 4 \), \( y_2 = 11 - 1 = 10 \). (\( y_1 < y_2 \))
• При \( x = 2 \): \( y_1 = 4^2 = 16 \), \( y_2 = 11 - 2 = 9 \). (\( y_1 > y_2 \))

Поскольку \( y_1 \) возрастает, а \( y_2 \) убывает, и при \( x=1 \) \( y_1 < y_2 \), а при \( x=2 \) \( y_1 > y_2 \), графики пересекаются в единственной точке между \( x = 1 \) и \( x = 2 \). Для данного типа учебных задач часто предполагается, что корень является целым числом, или лежит в очевидном интервале, но точное значение не находится элементарно. Тем не менее, никакое целое число не является решением.

Поскольку графический метод позволяет найти только примерное значение, мы можем только указать, что корень \( x_0 \in (1; 2) \).

Ответ: Единственное решение \( x_0 \in (1; 2) \).