ГДЗ: Упражнение 233 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Перепишем \( 9^x \) как \( (3^2)^x = (3^x)^2 \).
Неравенство примет вид: \( (3^x)^2 - 3^x - 6 > 0 \).
Используем метод замены переменной: Пусть \( t = 3^x \). Так как показательная функция всегда положительна, \( t > 0 \).
\( t^2 - t - 6 > 0 \).

Находим корни квадратного уравнения \( t^2 - t - 6 = 0 \):
\( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).
\( t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \implies t_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \), \( t_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \).

Так как парабола ветвями вверх, неравенство \( t^2 - t - 6 > 0 \) выполняется вне корней:
\( t < -2 \) или \( t > 3 \).

Выполняем обратную замену, учитывая, что \( t = 3^x \) и \( t > 0 \):

• Случай \( t < -2 \): \( 3^x < -2 \). Это неравенство не имеет решений, так как \( 3^x > 0 \).
• Случай \( t > 3 \): \( 3^x > 3^1 \).
  Основание \( a = 3 > 1 \), функция возрастающая. Знак сохраняется: \( x > 1 \).

Таким образом, решение неравенства: \( x > 1 \), т.е. \( (1; +\infty) \).

Находим целые решения на отрезке \([-3; 3]\). Целые числа в этом отрезке, удовлетворяющие \( x > 1 \), это \( 2 \) и \( 3 \).

Ответ: \( 2, 3 \).

Перепишем \( 4^x \) как \( (2^2)^x = (2^x)^2 \).
Неравенство примет вид: \( (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 12 < 0 \).
Используем метод замены переменной: Пусть \( t = 2^x \). Условие: \( t > 0 \).
\( t^2 - 2t - 12 < 0 \).

Находим корни квадратного уравнения \( t^2 - 2t - 12 = 0 \):
\( D = (-2)^2 - 4(1)(-12) = 4 + 48 = 52 \).
\( t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 1 \pm \sqrt{13} \).
Приближенно: \( \sqrt{13} \approx 3,6 \). \( t_1 \approx 1 - 3,6 = -2,6 \), \( t_2 \approx 1 + 3,6 = 4,6 \).

Так как парабола ветвями вверх, неравенство \( t^2 - 2t - 12 < 0 \) выполняется между корнями:
\( 1 - \sqrt{13} < t < 1 + \sqrt{13} \).

Выполняем обратную замену \( t = 2^x \). Учитывая, что \( 2^x > 0 \), а \( 1 - \sqrt{13} < 0 \), имеем:
\( 0 < 2^x < 1 + \sqrt{13} \).

Левое неравенство \( 2^x > 0 \) выполняется для всех \( x \). Решаем правое:
\( 2^x < 1 + \sqrt{13} \).
Представим правую часть как степень с основанием \( 2 \): \( 1 + \sqrt{13} = 2^{\log_2 (1 + \sqrt{13})} \).
\( 2^x < 2^{\log_2 (1 + \sqrt{13})} \).
Основание \( 2 > 1 \), знак сохраняется: \( x < \log_2 (1 + \sqrt{13}) \).

Приближенное значение: \( 1 + \sqrt{13} \approx 4,6 \). \( \log_2 4,6 \). Так как \( 2^2 = 4 \), \( 2^{2,2} \approx 4,6 \). Пусть \( c = \log_2 (1 + \sqrt{13}) \approx 2,2 \).

Решение: \( x < c \).

Находим целые решения на отрезке \([-3; 3]\). Целые числа в этом отрезке, удовлетворяющие \( x < c \approx 2,2 \), это \( -3, -2, -1, 0, 1, 2 \).

Ответ: \( -3, -2, -1, 0, 1, 2 \).