ГДЗ: Упражнение 232 - § 13 (Показательные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Разложим \( 3^{x + 1} \): \( 3^{x + 1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x \).
Неравенство примет вид: \( 3^x + 3 \cdot 3^x < 28 \).
Вынесем общий множитель \( 3^x \):
\( 3^x (1 + 3) < 28 \implies 4 \cdot 3^x < 28 \).
Разделим на \( 4 \): \( 3^x < 7 \).

Для решения представим \( 7 \) как степень с основанием \( 3 \): \( 7 = 3^{\log_3 7} \).
\( 3^x < 3^{\log_3 7} \).
Пояснение: Основание \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( x < \log_3 7 \).

Ответ: \( (-\infty; \log_3 7) \).

Разложим \( 2^{x^2 - 1} \): \( 2^{x^2 - 1} = 2^{x^2} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{x^2} \).
Неравенство примет вид: \( 2 \cdot 2^{x^2} - 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2^{x^2}) \ge 17 \).
\( 2 \cdot 2^{x^2} - 1 \cdot 2^{x^2} \ge 17 \).
Вынесем общий множитель \( 2^{x^2} \):
\( 2^{x^2} (2 - 1) \ge 17 \implies 2^{x^2} \ge 17 \).

Представим \( 17 \) как степень с основанием \( 2 \): \( 17 = 2^{\log_2 17} \).
\( 2^{x^2} \ge 2^{\log_2 17} \).
Пояснение: Основание \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( x^2 \ge \log_2 17 \).

Поскольку \( \log_2 17 > \log_2 16 = 4 \), число положительно. Пусть \( c = \log_2 17 \).
\( x^2 \ge c \implies |x| \ge \sqrt{c} \).

Ответ: \( (-\infty; -\sqrt{\log_2 17}] \cup [\sqrt{\log_2 17}; +\infty) \).

Вынесем наименьшую степень \( 2^{2x - 3} \) за скобки:
\( 2^{2x - 3} (2^{(2x - 1) - (2x - 3)} + 2^{(2x - 2) - (2x - 3)} - 1) \ge 448 \).
\( 2^{2x - 3} (2^2 + 2^1 - 1) \ge 448 \).
\( 2^{2x - 3} (4 + 2 - 1) \ge 448 \).
\( 5 \cdot 2^{2x - 3} \ge 448 \).

Разделим на \( 5 \): \( 2^{2x - 3} \ge \frac{448}{5} = 89,6 \).

Представим \( 89,6 \) как степень с основанием \( 2 \): \( 89,6 = 2^{\log_2 89,6} \).
\( 2^{2x - 3} \ge 2^{\log_2 89,6} \).
Пояснение: Основание \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( 2x - 3 \ge \log_2 89,6 \).
\( 2x \ge 3 + \log_2 89,6 \).
\( x \ge \frac{3 + \log_2 89,6}{2} \).

Ответ: \( [\frac{3 + \log_2 89,6}{2}; +\infty) \).

Разложим \( 3^{x^2 - 3} \): \( 3^{x^2 - 3} = 3^{x^2} \cdot 3^{-3} = \frac{1}{27} \cdot 3^{x^2} \).
Неравенство примет вид: \( 5 \cdot 3^{x^2} - 5 \cdot (\frac{1}{27} \cdot 3^{x^2}) \le 624 \).
Вынесем общий множитель \( 5 \cdot 3^{x^2} \):
\( 5 \cdot 3^{x^2} (1 - \frac{1}{27}) \le 624 \).
\( 5 \cdot 3^{x^2} (\frac{27 - 1}{27}) \le 624 \).
\( 5 \cdot 3^{x^2} \cdot \frac{26}{27} \le 624 \).
\( \frac{130}{27} \cdot 3^{x^2} \le 624 \).

Выразим \( 3^{x^2} \):
\( 3^{x^2} \le 624 \cdot \frac{27}{130} = \frac{16848}{130} = 129,6 \).

Представим \( 129,6 \) как степень с основанием \( 3 \): \( 129,6 = 3^{\log_3 129,6} \).
\( 3^{x^2} \le 3^{\log_3 129,6} \).
Пояснение: Основание \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.

\( x^2 \le \log_3 129,6 \).

Так как \( \log_3 81 = 4 \) и \( \log_3 243 = 5 \), то \( 4 < \log_3 129,6 < 5 \). Число положительно. Пусть \( c = \log_3 129,6 \).
\( x^2 \le c \implies |x| \le \sqrt{c} \).

Ответ: \( [-\sqrt{\log_3 129,6}; \sqrt{\log_3 129,6}] \).