ГДЗ: Упражнение 307 - § 17 (Десятичные и натуральные логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Область допустимых значений (ОДЗ): \( x > 0 \).

Шаг 1. Преобразование правой части (ПЧ): Используем свойства логарифмов: \( p \log_a x = \log_a x^p \) и \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \).

• Первое слагаемое: \( 2 \log_5 3 = \log_5 3^2 = \log_5 9 \)
• Второе слагаемое: \( 4 \log_{25} 2 = 4 \log_{5^2} 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_5 2 = 2 \log_5 2 = \log_5 2^2 = \log_5 4 \)

Шаг 2. Запись уравнения с одинаковым основанием:

• \( \log_5 x = \log_5 9 + \log_5 4 \)

Шаг 3. Использование свойства логарифма произведения: \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \).

• \( \log_5 x = \log_5 (9 \cdot 4) \)
• \( \log_5 x = \log_5 36 \)

Шаг 4. Решение: Приравниваем аргументы (т.к. функция \(\log_5 t\) монотонна):

• \( x = 36 \)

Шаг 5. Проверка ОДЗ: \( 36 > 0 \) — удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \( x = 36 \)

ОДЗ: \( x > 0 \).

Шаг 1. Приведение к общему основанию: Приведем \( \log_4 x \) к основанию 2, используя \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \) (здесь \( 4=2^2 \), \( k=2 \)).

• \( \log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x \)

Шаг 2. Подстановка в уравнение:

• \( \log_2 x - 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \log_2 x \right) = 9 \)
• \( \log_2 x - \log_2 x = 9 \)
• \( 0 = 9 \)

Вывод: Получено ложное равенство.

Ответ: Уравнение не имеет решений.

ОДЗ: \( x > 0 \).

Шаг 1. Преобразование правой части (ПЧ): Приведем все логарифмы к основанию 3.

• Первое слагаемое: \( 9 \log_{27} 8 = 9 \log_{3^3} 2^3 = 9 \cdot \frac{1}{3} \log_3 2^3 = 3 \log_3 8 = \log_3 8^3 \)
• Второе слагаемое: \( 3 \log_3 4 = \log_3 4^3 \)

Шаг 2. Запись уравнения:

• \( \log_3 x = \log_3 8^3 - \log_3 4^3 \)

Шаг 3. Использование свойства логарифма частного: \( \log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right) \).

• \( \log_3 x = \log_3 \left( \frac{8^3}{4^3} \right) \)
• \( \log_3 x = \log_3 \left( \frac{8}{4} \right)^3 \)
• \( \log_3 x = \log_3 2^3 \)
• \( \log_3 x = \log_3 8 \)

Шаг 4. Решение: Приравниваем аргументы:

• \( x = 8 \)

Шаг 5. Проверка ОДЗ: \( 8 > 0 \) — удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \( x = 8 \)

ОДЗ: Логарифм \( \log_{\sqrt{2}} x \) требует \( x > 0 \). В первом слагаемом \(\log_2 x^2\) аргумент \(x^2>0\), что означает \(x \neq 0\). Общее ОДЗ: \( x > 0 \).

Шаг 1. Приведение к общему основанию: Приведем все логарифмы к основанию 2. Используем \(\log_a x^p = p \log_a x\) (только при \(x>0\)) и \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b\) (здесь \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\), \(k=1/2\)).

• \( \log_2 x^2 = 2 \log_2 x \) (поскольку \(x>0\) по ОДЗ)
• \( \log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_2 x = 2 \log_2 x \)

Шаг 2. Подстановка в уравнение:

• \( 2 \log_2 x + 2 \log_2 x = 3 \)
• \( 4 \log_2 x = 3 \)
• \( \log_2 x = \frac{3}{4} \)

Шаг 3. Переход к показательной форме: Используем определение логарифма: \( \log_a b = c \iff a^c = b \).

• \( x = 2^{3/4} \)

Шаг 4. Проверка ОДЗ: \( 2^{3/4} > 0 \) — удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \( x = 2^{3/4} \) (или \( x = \sqrt[4]{8} \))

ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).

Шаг 1. Приведение к общему основанию: Приведем \( \log_x 8 \) к основанию 2, используя \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\) и \(\log_2 8 = 3\).

• \( \log_x 8 = \frac{1}{\log_8 x} \). Неудобно. Лучше: \( \log_x 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 x} = \frac{3}{\log_2 x} \)

Шаг 2. Введение замены: Пусть \( y = \log_2 x \). Подставляем в уравнение:

• \( y + \frac{3}{y} = 8 \)

Шаг 3. Решение квадратного уравнения: Умножим обе части на \( y \) (т.к. \(y \neq 0\), если \(x \neq 1\)).

• \( y^2 + 3 = 8y \)
• \( y^2 - 8y + 3 = 0 \)
• Находим дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4(1)(3) = 64 - 12 = 52 \)
• Находим корни: \( y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2} = 4 \pm \sqrt{13} \)

Шаг 4. Обратная замена:

• Случай 1: \( \log_2 x_1 = 4 + \sqrt{13} \implies x_1 = 2^{4 + \sqrt{13}} \)
• Случай 2: \( \log_2 x_2 = 4 - \sqrt{13} \implies x_2 = 2^{4 - \sqrt{13}} \)

Шаг 5. Проверка ОДЗ: Оба корня положительны и не равны 1.

Ответ: \( x_1 = 2^{4 + \sqrt{13}} \) и \( x_2 = 2^{4 - \sqrt{13}} \)

ОДЗ: \( x > 0 \).

Шаг 1. Приведение к общему основанию: Приведем \( \log_{16} x \) к основанию 4. Используем \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b\) (здесь \( 16=4^2 \), \( k=2 \)).

• \( \log_{16} x = \log_{4^2} x = \frac{1}{2} \log_4 x \)

Шаг 2. Подстановка в уравнение:

• \( \log_4 x - \frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4} \)

Шаг 3. Решение относительно \( \log_4 x \):

• \( \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \log_4 x = \frac{1}{4} \)
• \( \frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4} \)
• \( \log_4 x = \frac{1}{4} \cdot 2 \)
• \( \log_4 x = \frac{1}{2} \)

Шаг 4. Переход к показательной форме:

• \( x = 4^{1/2} \)
• \( x = \sqrt{4} = 2 \)

Шаг 5. Проверка ОДЗ: \( 2 > 0 \) — удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \( x = 2 \)