ГДЗ: Упражнение 313 - § 17 (Десятичные и натуральные логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).

Шаг 1. Приведение к общему основанию: Приведем все к основанию 2. Используем \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\) и \(\log_2 4 = 2\).

• \( \log_x 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 x} = \frac{2}{\log_2 x} \)

Шаг 2. Подстановка в уравнение:

• \( \log_2 x - 9 \cdot \frac{2}{\log_2 x} = 4 \)
• \( \log_2 x - \frac{18}{\log_2 x} = 4 \)

Шаг 3. Введение замены: Пусть \( y = \log_2 x \). Тогда \(y \neq 0\) (т.к. \(x \neq 1\)).

• \( y - \frac{18}{y} = 4 \)
• \( y^2 - 18 = 4y \)
• \( y^2 - 4y - 18 = 0 \)

Шаг 4. Решение квадратного уравнения:

• \( D = (-4)^2 - 4(1)(-18) = 16 + 72 = 88 \)
• \( y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{2} = 2 \pm \sqrt{22} \)

Шаг 5. Обратная замена:

• \( \log_2 x_1 = 2 + \sqrt{22} \implies x_1 = 2^{2 + \sqrt{22}} \)
• \( \log_2 x_2 = 2 - \sqrt{22} \implies x_2 = 2^{2 - \sqrt{22}} \)

Ответ: \( x_1 = 2^{2 + \sqrt{22}} \) и \( x_2 = 2^{2 - \sqrt{22}} \)

ОДЗ: \( x > 0 \).

Шаг 1. Приведение к общему основанию: Приведем все логарифмы к основанию 4. Используем \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b\). Здесь \(16 = 4^2\).

• \( \log_{16} x = \log_{4^2} x = \frac{1}{2} \log_4 x \)

Шаг 2. Подстановка в уравнение:

• \( 16 \left( \frac{1}{2} \log_4 x \right)^2 + 3 \log_4 x - 1 = 0 \)
• \( 16 \cdot \frac{1}{4} (\log_4 x)^2 + 3 \log_4 x - 1 = 0 \)
• \( 4 \log_4^2 x + 3 \log_4 x - 1 = 0 \)

Шаг 3. Введение замены: Пусть \( y = \log_4 x \).

• \( 4y^2 + 3y - 1 = 0 \)

Шаг 4. Решение квадратного уравнения:

• \( D = 3^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25 \)
• \( y_1 = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
• \( y_2 = \frac{-3 - 5}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \)

Шаг 5. Обратная замена:

• Случай 1: \( \log_4 x_1 = \frac{1}{4} \implies x_1 = 4^{1/4} = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \)
• Случай 2: \( \log_4 x_2 = -1 \implies x_2 = 4^{-1} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( x_1 = \sqrt{2} \) и \( x_2 = \frac{1}{4} \)

ОДЗ: \( x > 0 \).

Шаг 1. Введение замены: Пусть \( y = \log_3 x \).

• \( y^2 + 5y - 1,5 = 0 \) или \( y^2 + 5y - \frac{3}{2} = 0 \)
• Умножим на 2 для удобства: \( 2y^2 + 10y - 3 = 0 \)

Шаг 2. Решение квадратного уравнения:

• \( D = 10^2 - 4(2)(-3) = 100 + 24 = 124 \)
• \( y_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{124}}{4} = \frac{-10 \pm 2 \sqrt{31}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{31}}{2} \)

Шаг 3. Обратная замена:

• \( \log_3 x_1 = \frac{-5 + \sqrt{31}}{2} \implies x_1 = 3^{\frac{-5 + \sqrt{31}}{2}} \)
• \( \log_3 x_2 = \frac{-5 - \sqrt{31}}{2} \implies x_2 = 3^{\frac{-5 - \sqrt{31}}{2}} \)

Ответ: \( x_1 = 3^{\frac{-5 + \sqrt{31}}{2}} \) и \( x_2 = 3^{\frac{-5 - \sqrt{31}}{2}} \)

ОДЗ: \( x > 0 \).

Шаг 1. Приведение к общему основанию: Приведем \( \log_{27} x \) к основанию 3. Используем \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b\). Здесь \(27 = 3^3\).

• \( \log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x \)

Шаг 2. Подстановка в уравнение:

• \( \log_3^2 x - 15 \cdot \frac{1}{3} \log_3 x + 6 = 0 \)
• \( \log_3^2 x - 5 \log_3 x + 6 = 0 \)

Шаг 3. Введение замены: Пусть \( y = \log_3 x \).

• \( y^2 - 5y + 6 = 0 \)

Шаг 4. Решение квадратного уравнения: По теореме Виета или через дискриминант:

• \( (y - 2)(y - 3) = 0 \)
• \( y_1 = 2 \) и \( y_2 = 3 \)

Шаг 5. Обратная замена:

• Случай 1: \( \log_3 x_1 = 2 \implies x_1 = 3^2 = 9 \)
• Случай 2: \( \log_3 x_2 = 3 \implies x_2 = 3^3 = 27 \)

Ответ: \( x_1 = 9 \) и \( x_2 = 27 \)