ГДЗ: Упражнение 308 - § 17 (Десятичные и натуральные логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Переход к удобному основанию: Выразим \( \log_{19} 28 \) через десятичные (или натуральные) логарифмы, поскольку в данном выражении нет логарифма с основанием 7.

• \( \log_{19} 28 = \frac{\lg 28}{\lg 19} \)

Шаг 2. Разложение: Разложим аргумент 28 на множители: \( 28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 \).

• \( \log_{19} 28 = \frac{\lg (2^2 \cdot 7)}{\lg 19} = \frac{2 \lg 2 + \lg 7}{\lg 19} \)

Шаг 3. Выражение \( \lg 2 \) и \( \lg 7 \) через \(m\): Из данного \( \log_7 2 = m \), перейдем к десятичному логарифму: \( \frac{\lg 2}{\lg 7} = m \), откуда \( \lg 2 = m \cdot \lg 7 \).

• Тогда: \( \log_{19} 28 = \frac{2 (m \cdot \lg 7) + \lg 7}{\lg 19} = \frac{\lg 7 (2m + 1)}{\lg 19} \)

Вывод: Невозможно выразить окончательный ответ только через \(m\), поскольку \( \lg 7 \) и \( \lg 19 \) остаются неизвестными.

Предположение об опечатке: Вероятно, в условии опечатка, и нужно найти \(\log_7 28\) или \(\log_7 19\), или дано \(\log_a 19\) и нужно найти \(\log_{19} 28\). Если бы требовалось найти \( \log_7 28 \):

• \( \log_7 28 = \log_7 (4 \cdot 7) = \log_7 4 + \log_7 7 = \log_7 2^2 + 1 = 2 \log_7 2 + 1 = 2m + 1 \) (Это было бы корректным решением).

С учетом исходного условия:

• \( \log_{19} 28 = \frac{\log_7 28}{\log_7 19} = \frac{\log_7 (2^2 \cdot 7)}{\log_7 19} = \frac{2 \log_7 2 + \log_7 7}{\log_7 19} = \frac{2m + 1}{\log_7 19} \)

Так как \( \log_7 19 \) неизвестно, это наиболее полное выражение. Если 19 - опечатка, и должно быть 7, то ответ \(2m+1\).

Ответ: \( \frac{2m + 1}{\log_7 19} \) (или \( 2m+1 \), если в условии ошибка и требуется \( \log_7 28 \))