ГДЗ: Упражнение 314 - § 17 (Десятичные и натуральные логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Применение формулы перехода к новому основанию: Используем \(\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b\).

• Первое слагаемое: \( \frac{\log_5 2}{\log_5 3} = \log_3 2 \)
• Второе слагаемое: \( \frac{\log_4 3}{\log_4 6} = \log_6 3 \)

Шаг 2. Преобразование второго слагаемого: Заменим \(\log_6 3\) через логарифмы с основанием 3. Используем \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\) и \(\log_3 6 = \log_3 (2 \cdot 3) = \log_3 2 + \log_3 3 = \log_3 2 + 1\).

• \( \log_6 3 = \frac{1}{\log_3 6} = \frac{1}{\log_3 2 + 1} \)

Шаг 3. Введение замены и сложение: Пусть \( a = \log_3 2 \).

• Выражение: \( a + \frac{1}{a + 1} = \frac{a(a + 1) + 1}{a + 1} = \frac{a^2 + a + 1}{a + 1} \)

Шаг 4. Обратная замена:

• \( \frac{\log_3^2 2 + \log_3 2 + 1}{\log_3 2 + 1} \)

Ответ: \( \frac{\log_3^2 2 + \log_3 2 + 1}{\log_3 2 + 1} \)

Шаг 1. Преобразование слагаемого в скобках: Используем свойство \(\frac{1}{\log_b a} = \log_a b\).

• \( \frac{1}{\log_5 7} = \log_7 5 \)
• Скобка: \( \log_7 2 + \log_7 5 \)

Шаг 2. Применение свойства логарифма произведения:

• Скобка: \( \log_7 2 + \log_7 5 = \log_7 (2 \cdot 5) = \log_7 10 \)

Шаг 3. Умножение:

• Выражение: \( \log_7 10 \cdot \log_3 7 \)

Шаг 4. Изменение основания: Используем \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\) (если \(\log_3 7 = \frac{\lg 7}{\lg 3}\) и \(\log_7 10 = \frac{\lg 10}{\lg 7}\)).

• \( \log_7 10 \cdot \log_3 7 = \frac{\log_3 10}{\log_3 7} \cdot \log_3 7 = \log_3 10 \)

Ответ: \( \log_3 10 \)

Шаг 1. Преобразование знаменателя: Приведем \( \log_9 4 \) к основанию 2. Используем \(\log_{a^k} b^p = \frac{p}{k} \log_a b\). Здесь \(9=3^2\) и \(4=2^2\).

• \( \log_9 4 = \log_{3^2} 2^2 = \frac{2}{2} \log_3 2 = \log_3 2 \)

Шаг 2. Подстановка в выражение:

• Выражение: \( \frac{2 \log_2 3}{\log_3 2} \)

Шаг 3. Применение свойства обратного логарифма: Используем \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\) (то есть \(\frac{1}{\log_3 2} = \log_2 3\)).

• Выражение: \( 2 \log_2 3 \cdot \frac{1}{\log_3 2} = 2 \log_2 3 \cdot \log_2 3 = 2 (\log_2 3)^2 \)

Ответ: \( 2 \log_2^2 3 \)