ГДЗ: Упражнение 607 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• По определению, \( \text{arctg } 0 \) — это угол \( x \) из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), для которого \( \text{tg } x = 0 \).

• Тангенс равен нулю при \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Единственный такой угол, попадающий в интервал \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), это \( x = 0 \) (при \( n = 0 \)).

Ответ: \( 0 \)

Решение:

• Используем свойство нечетности арктангенса: \( \text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a \).

• Тогда \( \text{arctg } (-1) = -\text{arctg } 1 \).

• По определению, \( \text{arctg } 1 \) — это угол \( x \) из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), для которого \( \text{tg } x = 1 \).

• Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 \), и \( \frac{\pi}{4} \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \). Следовательно, \( \text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4} \).

• Таким образом, \( \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{4} \)

Решение:

• Используем свойство нечетности арктангенса: \( \text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a \).

• Тогда \( \text{arctg } \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = -\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} \).

• По определению, \( \text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} \) — это угол \( x \) из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), для которого \( \text{tg } x = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

• Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), и \( \frac{\pi}{6} \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \). Следовательно, \( \text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6} \).

• Таким образом, \( \text{arctg } \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = -\frac{\pi}{6} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{6} \)

Решение:

• По определению, \( \text{arctg } \sqrt{3} \) — это угол \( x \) из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), для которого \( \text{tg } x = \sqrt{3} \).

• Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), и \( \frac{\pi}{3} \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \). Следовательно, \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{3} \)