ГДЗ: Упражнение 617 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Вычислим \( \text{ctg } \frac{5\pi}{6} \).

• Используем формулу приведения: \( \text{ctg } \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) = -\text{ctg } \frac{\pi}{6} \).

• Так как \( \text{ctg } \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \), то \( \text{ctg } \frac{5\pi}{6} = -\sqrt{3} \).

• Шаг 2: Подставим значение в арктангенс: \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) \).

• Используем свойство нечетности: \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\text{arctg } \sqrt{3} \).

• Так как \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \), то \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{3} \)

Решение:

• Шаг 1: Вычислим \( \text{ctg } \frac{3\pi}{4} \).

• Используем формулу приведения: \( \text{ctg } \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) = -\text{ctg } \frac{\pi}{4} \).

• Так как \( \text{ctg } \frac{\pi}{4} = 1 \), то \( \text{ctg } \frac{3\pi}{4} = -1 \).

• Шаг 2: Подставим значение в арктангенс: \( \text{arctg } (-1) \).

• Используем свойство нечетности: \( \text{arctg } (-1) = -\text{arctg } 1 \).

• Так как \( \text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4} \), то \( \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \).

• Шаг 3: Умножим на 2: \( 2 \text{arctg } \left( \text{ctg } \frac{3\pi}{4} \right) = 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\pi}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{2} \)

Решение:

• Шаг 1: Вычислим \( \sin \frac{5\pi}{6} \).

• Используем формулу приведения: \( \sin \frac{5\pi}{6} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{6} \).

• Так как \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).

• Шаг 2: Вычислим аргумент арктангенса: \( 2 \sin \frac{5\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).

• Шаг 3: Подставим значение в арктангенс: \( \text{arctg } 1 \).

• Так как \( \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 \), то \( \text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{4} \)

Решение:

• Шаг 1: Вычислим \( \sin \frac{\pi}{3} \).

• Известно, что \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

• Шаг 2: Вычислим аргумент арктангенса: \( 2 \sin \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).

• Шаг 3: Подставим значение в арктангенс: \( \text{arctg } \sqrt{3} \).

• Так как \( \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), то \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \).

• Шаг 4: Умножим на 4: \( 4 \text{arctg } \left( 2 \sin \frac{\pi}{3} \right) = 4 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \).

Ответ: \( \frac{4\pi}{3} \)