ГДЗ: Упражнение 609 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Вычислим \( \text{arctg } (-1) \).

• Используем свойство \( \text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a \): \( \text{arctg } (-1) = -\text{arctg } 1 \).

• Поскольку \( \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 \), то \( \text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4} \).

• Следовательно, \( \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \).

• Шаг 2: Вычислим \( \text{arcsin } \frac{\sqrt{3}}{2} \).

• По определению, \( \text{arcsin } \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \), так как \( \text{sin } \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \frac{\pi}{3} \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] \).

• Шаг 3: Сравним числа \( -\frac{\pi}{4} \) и \( \frac{\pi}{3} \).

• Очевидно, что отрицательное число меньше положительного: \( -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} \).

Ответ: \( \text{arctg } (-1) < \text{arcsin } \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Решение:

• Шаг 1: Вычислим \( \text{arctg } \sqrt{3} \).

• По определению, \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \), так как \( \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

• Шаг 2: Вычислим \( \text{arccos } \frac{1}{2} \).

• По определению, \( \text{arccos } \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \), так как \( \text{cos } \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) и \( \frac{\pi}{3} \in [0; \pi] \).

• Шаг 3: Сравним числа \( \frac{\pi}{3} \) и \( \frac{\pi}{3} \).

• Очевидно, что числа равны: \( \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \).

Ответ: \( \text{arctg } \sqrt{3} = \text{arccos } \frac{1}{2} \)

Решение:

• Шаг 1: Используем свойство возрастания функции \( y = \text{arctg } x \).

• Функция \( y = \text{arctg } x \) строго возрастает на всей области определения \( (-\infty; +\infty) \).

• Шаг 2: Сравним аргументы.

• Сравним числа \( -3 \) и \( 2 \). Очевидно, что \( -3 < 2 \).

• Шаг 3: Сделаем вывод на основании свойства возрастания.

• Поскольку функция \( y = \text{arctg } x \) является строго возрастающей, то из \( -3 < 2 \) следует \( \text{arctg } (-3) < \text{arctg } 2 \).

Ответ: \( \text{arctg } (-3) < \text{arctg } 2 \)

Решение:

• Шаг 1: Вычислим \( \text{arcctg } 0 \).

• По определению, \( \text{arcctg } 0 \) — это угол \( x \) из интервала \( (0; \pi) \), для которого \( \text{ctg } x = 0 \).

• Котангенс равен нулю при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \). Единственный угол в интервале \( (0; \pi) \) — это \( \frac{\pi}{2} \) (при \( n = 0 \)).

• Следовательно, \( \text{arcctg } 0 = \frac{\pi}{2} \).

• Шаг 2: Оценим \( \text{arctg } (-5) \).

• Арктангенс отрицательного числа лежит в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; 0 \right) \), так как \( \text{arctg } (-5) = -\text{arctg } 5 \), и \( \text{arctg } 5 \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \).

• Таким образом, \( -\frac{\pi}{2} < \text{arctg } (-5) < 0 \).

• Шаг 3: Сравним. \( \text{arctg } (-5) \) — отрицательное число, а \( \text{arcctg } 0 = \frac{\pi}{2} \) — положительное число.

• Следовательно, \( \text{arctg } (-5) < \text{arcctg } 0 \).

Ответ: \( \text{arctg } (-5) < \text{arcctg } 0 \)