ГДЗ: Упражнение 608 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Вычислим \( \text{arctg } \sqrt{3} \).

• По определению \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \), так как \( \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \) и \( \frac{\pi}{3} \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).

• Шаг 2: Вычислим \( \text{arcsin } \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \).

• Используем свойство нечетности арксинуса: \( \text{arcsin } (-a) = -\text{arcsin } a \). Имеем \( \text{arcsin } \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\text{arcsin } \frac{1}{\sqrt{2}} \).

• Поскольку \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \text{sin } \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то \( \text{arcsin } \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} \).

• Следовательно, \( \text{arcsin } \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{\pi}{4} \).

• Шаг 3: Подставим значения в исходное выражение.

• \( 6 \text{arctg } \sqrt{3} - 4 \text{arcsin } \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 6 \left( \frac{\pi}{3} \right) - 4 \left( -\frac{\pi}{4} \right) \).

• Выполним умножение: \( \frac{6\pi}{3} - (-\frac{4\pi}{4}) = 2\pi + \pi = 3\pi \).

Ответ: \( 3\pi \)

Решение:

• Шаг 1: Вычислим \( \text{arctg } 1 \).

• По определению \( \text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4} \), так как \( \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 \) и \( \frac{\pi}{4} \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).

• Шаг 2: Вычислим \( \text{arcsin } \left( -\frac{1}{2} \right) \).

• Используем свойство нечетности арксинуса: \( \text{arcsin } (-a) = -\text{arcsin } a \). Имеем \( \text{arcsin } \left( -\frac{1}{2} \right) = -\text{arcsin } \frac{1}{2} \).

• Поскольку \( \text{sin } \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), то \( \text{arcsin } \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \).

• Следовательно, \( \text{arcsin } \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6} \).

• Шаг 3: Подставим значения в исходное выражение.

• \( 2 \text{arctg } 1 + 3 \text{arcsin } \left( -\frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi}{4} \right) + 3 \left( -\frac{\pi}{6} \right) \).

• Выполним умножение: \( \frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0 \).

Ответ: \( 0 \)

Решение:

• Шаг 1: Вычислим \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) \).

• Используем свойство нечетности арктангенса: \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\text{arctg } \sqrt{3} \).

• Так как \( \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), то \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \).

• Следовательно, \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \).

• Шаг 2: Вычислим \( \text{arccos } \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \).

• Используем формулу \( \text{arccos } (-a) = \pi - \text{arccos } a \). Имеем \( \text{arccos } \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi - \text{arccos } \frac{\sqrt{2}}{2} \).

• Поскольку \( \text{cos } \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то \( \text{arccos } \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).

• Следовательно, \( \text{arccos } \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).

• Шаг 3: Подставим значения в исходное выражение.

• \( 5 \text{arctg } (-\sqrt{3}) - 3 \text{arccos } \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 5 \left( -\frac{\pi}{3} \right) - 3 \left( \frac{3\pi}{4} \right) \).

• Выполним умножение: \( -\frac{5\pi}{3} - \frac{9\pi}{4} \).

• Приведем к общему знаменателю \( 12 \): \( -\frac{5\pi \cdot 4}{12} - \frac{9\pi \cdot 3}{12} = -\frac{20\pi}{12} - \frac{27\pi}{12} = -\frac{47\pi}{12} \).

Ответ: \( -\frac{47\pi}{12} \)