ГДЗ: Упражнение 610 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Данное уравнение является частным случаем \( \text{tg } x = a \), где \( a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

• Используем общую формулу для корней: \( x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем \( \text{arctg } \frac{1}{\sqrt{3}} \). Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

• Следовательно, \( \text{arctg } \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \).

• Запишем общее решение: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Данное уравнение является частным случаем \( \text{tg } x = a \), где \( a = \sqrt{3} \).

• Используем общую формулу для корней: \( x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем \( \text{arctg } \sqrt{3} \). Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

• Следовательно, \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \).

• Запишем общее решение: \( x = \frac{\pi}{3} + \pi n \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Данное уравнение является частным случаем \( \text{tg } x = a \), где \( a = -\sqrt{3} \).

• Используем общую формулу для корней: \( x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) \). Используем свойство \( \text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a \): \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\text{arctg } \sqrt{3} \).

• Поскольку \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \), то \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \).

• Запишем общее решение: \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Данное уравнение является частным случаем \( \text{tg } x = a \), где \( a = -1 \).

• Используем общую формулу для корней: \( x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем \( \text{arctg } (-1) \). Используем свойство \( \text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a \): \( \text{arctg } (-1) = -\text{arctg } 1 \).

• Поскольку \( \text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4} \), то \( \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \).

• Запишем общее решение: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Данное уравнение является частным случаем \( \text{tg } x = a \), где \( a = 4 \).

• Используем общую формулу для корней: \( x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

• В данном случае \( a = 4 \) не является табличным значением, поэтому \( \text{arctg } 4 \) записываем как корень.

• Запишем общее решение: \( x = \text{arctg } 4 + \pi n \).

Ответ: \( x = \text{arctg } 4 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Данное уравнение является частным случаем \( \text{tg } x = a \), где \( a = -5 \).

• Используем общую формулу для корней: \( x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

• В данном случае \( a = -5 \) не является табличным значением. Используем свойство \( \text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a \) и запишем корень как \( -\text{arctg } 5 \).

• Запишем общее решение: \( x = \text{arctg } (-5) + \pi n \) или \( x = -\text{arctg } 5 + \pi n \).

Ответ: \( x = -\text{arctg } 5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)