ГДЗ: Упражнение 611 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Данное уравнение вида \( \text{tg } y = 0 \), где \( y = 3x \).

• Корни уравнения \( \text{tg } y = 0 \) имеют вид \( y = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Подставим \( 3x \) вместо \( y \): \( 3x = \pi n \).

• Разделим обе части на 3, чтобы найти \( x \): \( x = \frac{\pi n}{3} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Перенесем 1 в правую часть: \( \text{tg } 5x = -1 \).

• Данное уравнение вида \( \text{tg } y = -1 \), где \( y = 5x \).

• Корни уравнения \( \text{tg } y = -1 \) имеют вид \( y = \text{arctg } (-1) + \pi n \).

• Так как \( \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \), то \( y = -\frac{\pi}{4} + \pi n \).

• Подставим \( 5x \) вместо \( y \): \( 5x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \).

• Разделим обе части на 5, чтобы найти \( x \): \( x = -\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5} \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Перенесем \( \sqrt{3} \) в правую часть: \( \text{tg } \frac{x}{6} = -\sqrt{3} \).

• Данное уравнение вида \( \text{tg } y = -\sqrt{3} \), где \( y = \frac{x}{6} \).

• Корни уравнения \( \text{tg } y = -\sqrt{3} \) имеют вид \( y = \text{arctg } (-\sqrt{3}) + \pi n \).

• Так как \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \), то \( y = -\frac{\pi}{3} + \pi n \).

• Подставим \( \frac{x}{6} \) вместо \( y \): \( \frac{x}{6} = -\frac{\pi}{3} + \pi n \).

• Умножим обе части на 6, чтобы найти \( x \): \( x = 6 \left( -\frac{\pi}{3} + \pi n \right) = -2\pi + 6\pi n \).

Ответ: \( x = -2\pi + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)