ГДЗ: Упражнение 708 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Функция \( y = \cos x \) периодична с периодом \( 2\pi \). На отрезке \( [0; 2\pi] \) косинус принимает значения \( 0, 1, -1 \) в определённых точках. Отрезок \( [0; 3\pi] \) включает полный период \( [0; 2\pi] \) и дополнительный отрезок \( (2\pi; 3\pi] \).

• Случай \( \cos x = 0 \):
  • На отрезке \( [0; 2\pi] \) решения: \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{3\pi}{2} \).
  • На отрезке \( (2\pi; 3\pi] \) решений вида \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) ищем для \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \).

  Ответ: \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \).

• Случай \( \cos x = 1 \):
  • На отрезке \( [0; 2\pi] \) решения: \( x = 0 \) и \( x = 2\pi \).
  • На отрезке \( (2\pi; 3\pi] \) решений вида \( x = 2\pi n \) нет, так как \( 2\pi \cdot 2 = 4\pi \notin [0; 3\pi] \).

  Ответ: \( x = 0, 2\pi \).

• Случай \( \cos x = -1 \):
  • На отрезке \( [0; 2\pi] \) решение: \( x = \pi \).
  • На отрезке \( (2\pi; 3\pi] \) решений вида \( x = \pi + 2\pi n \) нет, так как \( \pi + 2\pi \cdot 1 = 3\pi \) — единственное решение на границе, которое уже учтено. Подождите, \( 3\pi \) входит в отрезок. Решение \( x = 3\pi \) также является корнем, т.к. \( \cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos \pi = -1 \).

  Ответ: \( x = \pi, 3\pi \).

Пояснение: Функция \( y = \cos x \) принимает положительные значения (\( \cos x > 0 \)) в интервалах, где её график лежит выше оси абсцисс. Для косинуса это интервалы вида \( (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Найдём интервалы, входящие в \( [0; 3\pi] \):
  • Для \( n = 0 \): \( (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( [0; \frac{\pi}{2}) \).
  • Для \( n = 1 \): \( (\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}) \), так как \( \frac{5\pi}{2} = 2.5\pi \le 3\pi \).

Ответ: \( [0; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}) \).

Пояснение: Функция \( y = \cos x \) принимает отрицательные значения (\( \cos x < 0 \)) в интервалах, где её график лежит ниже оси абсцисс. Для косинуса это интервалы вида \( (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Найдём интервалы, входящие в \( [0; 3\pi] \):
  • Для \( n = 0 \): \( (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \).
  • Для \( n = 1 \): \( (\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{5\pi}{2}; 3\pi] \).

Ответ: \( (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{2}; 3\pi] \).