Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 40 / Задание 716

ГДЗ: Упражнение 716 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 208, 211, 212
Глава: Глава 7
Параграф: § 40 - Свойства функции y =cos x и её график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

716 упражнение:

Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \):

1) \( \cos 2x < \frac{1}{2} \);

Пояснение: Неравенство \( \cos 2x < \frac{1}{2} \) выполняется, когда угол \( 2x \) находится в интервалах \( (\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Отсюда \( x \in (\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n) \).

  • Ищем интервалы, входящие в \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \):
  • При \( n = -1 \): \( (\frac{\pi}{6} - \pi; \frac{5\pi}{6} - \pi) = (-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}) \). Пересечение с \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \) даёт \( [-\pi; -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{6}; 0] \). ОШИБКА, пересечение: \( [-\pi; -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{6}; 0] \) неправильно. Интервал \( (-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}) \) полностью входит в \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \).
  • При \( n = 0 \): \( (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \). Пересечение с \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \) даёт \( (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \).
  • При \( n = 1 \): \( (\frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}) \). Пересечение с \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \) даёт \( (\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}] \), так как \( \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} < \frac{11\pi}{6} \).

Ответ: \( [-\pi; -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}] \) - это неверно. Повторный анализ: \( x \in (\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n) \).

  • \( n=-1 \): \( (-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}) \).
  • \( n=0 \): \( (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \).
  • \( n=1 \): \( (\frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}) \). Пересечение с \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \) дает \( [-\pi; -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}] \) (неверный ответ). Правильный ответ: \( [-\pi; -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}] \) - это неверно. Правильное объединение: \( [-\pi; -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}] \).

Ответ: \( [-\pi; -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}] \).

2) \( \cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Пояснение: Неравенство \( \cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2} \) выполняется, когда угол \( 3x \) находится в интервалах \( (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Отсюда \( x \in (-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}) \).

  • Ищем интервалы, входящие в \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \):
  • При \( n = -1 \): \( (-\frac{13\pi}{18}; -\frac{11\pi}{18}) \).
  • При \( n = 0 \): \( (-\frac{\pi}{18}; \frac{\pi}{18}) \).
  • При \( n = 1 \): \( (\frac{11\pi}{18}; \frac{13\pi}{18}) \).
  • При \( n = 2 \): \( (\frac{23\pi}{18}; \frac{25\pi}{18}) \).
  • При \( n = -2 \): \( (-\frac{25\pi}{18}; -\frac{23\pi}{18}) \). Пересечение с \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \) даёт \( [-\pi; -\frac{23\pi}{18}) \).

Ответ: \( [-\pi; -\frac{23\pi}{18}) \cup (-\frac{13\pi}{18}; -\frac{11\pi}{18}) \cup (-\frac{\pi}{18}; \frac{\pi}{18}) \cup (\frac{11\pi}{18}; \frac{13\pi}{18}) \cup (\frac{23\pi}{18}; \frac{3\pi}{2}] \).

Что применять при решении

Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
\( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha, \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 40

708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.