ГДЗ: Упражнение 713 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Неравенство \( \cos x > \frac{1}{2} \) выполняется, когда угол \( x \) находится в интервалах \( (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Ищем интервалы, входящие в \( [0; 3\pi] \):
• При \( n = 0 \): \( (-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( [0; \frac{\pi}{3}) \).
• При \( n = 1 \): \( (\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}) \), так как \( \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} < 3\pi \).
• При \( n = 2 \): \( (\frac{11\pi}{3}; \frac{13\pi}{3}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) пусто.

Ответ: \( [0; \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}) \).

Пояснение: Неравенство \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \) выполняется, когда угол \( x \) находится в отрезках \( [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Ищем отрезки, входящие в \( [0; 3\pi] \):
• При \( n = 0 \): \( [-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}] \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( [0; \frac{2\pi}{3}] \).
• При \( n = 1 \): \( [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi; \frac{2\pi}{3} + 2\pi] = [\frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}] \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( [\frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}] \), так как \( \frac{8\pi}{3} < 3\pi \).
• При \( n = 2 \): \( [-\frac{2\pi}{3} + 4\pi; \frac{2\pi}{3} + 4\pi] = [\frac{10\pi}{3}; \frac{14\pi}{3}] \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) пусто.

Ответ: \( [0; \frac{2\pi}{3}] \cup [\frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}] \).

Пояснение: Неравенство \( \cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \) выполняется, когда угол \( x \) находится в интервалах \( (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Ищем интервалы, входящие в \( [0; 3\pi] \):
• При \( n = 0 \): \( (\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}) \).
• При \( n = 1 \): \( (\frac{3\pi}{4} + 2\pi; \frac{5\pi}{4} + 2\pi) = (\frac{11\pi}{4}; \frac{13\pi}{4}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{11\pi}{4}; 3\pi] \), так как \( 3\pi = \frac{12\pi}{4} \).

Ответ: \( (\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}) \cup (\frac{11\pi}{4}; 3\pi] \).

Пояснение: Неравенство \( \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} \) выполняется, когда угол \( x \) находится в интервалах \( (\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{11\pi}{6} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Ищем интервалы, входящие в \( [0; 3\pi] \):
• При \( n = 0 \): \( (\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}) \).
• При \( n = 1 \): \( (\frac{13\pi}{6}; \frac{23\pi}{6}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{13\pi}{6}; 3\pi] \), так как \( \frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} \) и \( 3\pi = \frac{18\pi}{6} \).
• Необходимо учесть начало отрезка \( [0; 3\pi] \). При \( x = 0 \) имеем \( \cos 0 = 1 \). Так как \( 1 > \frac{\sqrt{3}}{2} \), то начало отрезка не входит в решение. В решении учтено, что нижняя граница первого интервала \( \frac{\pi}{6} \) больше нуля.

Ответ: \( (\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}) \cup (\frac{13\pi}{6}; 3\pi] \).