Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 40 / Задание 719

ГДЗ: Упражнение 719 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 208, 211, 212
Глава: Глава 7
Параграф: § 40 - Свойства функции y =cos x и её график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

719 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = \cos x \);

Пояснение: График функции \( y = \cos x \) — это косинусоида. Он симметричен относительно оси Oy и периодичен с периодом \( 2\pi \). Множество значений \([-1; 1]\). Основные точки: \( (0; 1) \), \( (\frac{\pi}{2}; 0) \), \( (\pi; -1) \), \( (\frac{3\pi}{2}; 0) \), \( (2\pi; 1) \).

2) \( y = 3 - 2 \cos (x - 1) \).

Пояснение: График функции \( y = 3 - 2 \cos (x - 1) \) получается из \( y = \cos x \) следующими преобразованиями:

  • Сдвиг по оси Ox: Сдвиг на 1 единицу вправо (из-за \( x - 1 \)).
  • Растяжение по оси Oy: Растяжение в 2 раза от оси Ox (из-за \( 2 \)).
  • Симметричное отображение: Отражение относительно оси Ox (из-за \( -2 \)).
  • Сдвиг по оси Oy: Сдвиг на 3 единицы вверх (из-за \( +3 \)).
  • Множество значений: Так как \( -1 \le \cos (x-1) \le 1 \), то \( -2 \le -2 \cos (x-1) \le 2 \). Тогда \( 3 - 2 \le 3 - 2 \cos (x - 1) \le 3 + 2 \), то есть \( E(y) = [1; 5] \).
  • Период: \( T = 2\pi \).

Что применять при решении

Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
\( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha, \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 40

708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.