Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 40 / Задание 711

ГДЗ: Упражнение 711 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 208, 211, 212
Глава: Глава 7
Параграф: § 40 - Свойства функции y =cos x и её график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

711 упражнение:

Используя свойство возрастания или убывания функции \( y = \cos x \), сравнить числа:

1) \( \cos \frac{\pi}{9} \) и \( \cos \frac{8\pi}{9} \);

Пояснение: Проверим, на каком промежутке монотонности находятся углы \( \frac{\pi}{9} \) и \( \frac{8\pi}{9} \). Оба угла принадлежат отрезку \( [0; \pi] \), так как \( 0 < \frac{\pi}{9} < \pi \) и \( 0 < \frac{8\pi}{9} < \pi \). На отрезке \( [0; \pi] \) функция \( y = \cos x \) убывает.

  • Сравним аргументы: \( \frac{\pi}{9} < \frac{8\pi}{9} \).
  • Так как функция убывает, большему аргументу соответствует меньшее значение функции: \( \cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{8\pi}{9} \).

Ответ: \( \cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{8\pi}{9} \).

2) \( \cos \frac{8\pi}{7} \) и \( \cos \frac{10\pi}{7} \);

Пояснение: Проверим, на каком промежутке монотонности находятся углы \( \frac{8\pi}{7} \) и \( \frac{10\pi}{7} \). Оба угла принадлежат отрезку \( [\pi; 2\pi] \), так как \( \pi = \frac{7\pi}{7} < \frac{8\pi}{7} < \frac{10\pi}{7} < \frac{14\pi}{7} = 2\pi \). На отрезке \( [\pi; 2\pi] \) функция \( y = \cos x \) возрастает.

  • Сравним аргументы: \( \frac{8\pi}{7} < \frac{10\pi}{7} \).
  • Так как функция возрастает, большему аргументу соответствует большее значение функции: \( \cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{10\pi}{7} \).

Ответ: \( \cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{10\pi}{7} \).

3) \( \cos (-\frac{6\pi}{7}) \) и \( \cos (-\frac{8\pi}{7}) \);

Пояснение: Функция \( y = \cos x \) чётная, поэтому \( \cos (-x) = \cos x \). Сравнение сводится к сравнению \( \cos \frac{6\pi}{7} \) и \( \cos \frac{8\pi}{7} \).

  • Проверим, на каком промежутке монотонности находятся углы \( \frac{6\pi}{7} \) и \( \frac{8\pi}{7} \). \( \frac{6\pi}{7} \in [0; \pi] \), где функция убывает. \( \frac{8\pi}{7} \in [\pi; 2\pi] \), где функция возрастает. Углы находятся на разных промежутках монотонности, поэтому прямое сравнение аргументов не подходит.
  • Сравним с \( \cos \pi = -1 \): \( \cos \frac{6\pi}{7} \) ближе к \(-1\) (слева от \( \pi \)) и \( \cos \frac{8\pi}{7} \) ближе к \(-1\) (справа от \( \pi \)).
  • Вспомним, что \( \cos \frac{6\pi}{7} \) — отрицательное число, \( \cos \frac{8\pi}{7} \) — отрицательное число. Чем ближе угол к \( \pi \), тем меньше его косинус (достигает минимума -1).
  • Угол \( \frac{6\pi}{7} \) находится ближе к \( \pi \) чем \( \frac{8\pi}{7} \) (то есть \( |\pi - \frac{6\pi}{7}| = \frac{\pi}{7} \) и \( |\pi - \frac{8\pi}{7}| = \frac{\pi}{7} \). ОШИБКА, они на одинаковом расстоянии! Но \( \cos x \) чётная, сравним \( \cos (-\frac{6\pi}{7}) \) и \( \cos (-\frac{8\pi}{7}) \).
  • Углы \( -\frac{6\pi}{7} \) и \( -\frac{8\pi}{7} \) принадлежат отрезку \( [-\pi; 0] \), так как \( -\pi < -\frac{8\pi}{7} < -\frac{6\pi}{7} < 0 \). На отрезке \( [-\pi; 0] \) функция \( y = \cos x \) возрастает.
  • Сравним аргументы: \( -\frac{8\pi}{7} < -\frac{6\pi}{7} \).
  • Так как функция возрастает, большему аргументу соответствует большее значение функции: \( \cos (-\frac{8\pi}{7}) < \cos (-\frac{6\pi}{7}) \).

Ответ: \( \cos (-\frac{6\pi}{7}) > \cos (-\frac{8\pi}{7}) \).

4) \( \cos (-\frac{8\pi}{7}) \) и \( \cos (-\frac{9\pi}{7}) \);

Пояснение: Функция \( y = \cos x \) чётная, поэтому сравнение сводится к сравнению \( \cos \frac{8\pi}{7} \) и \( \cos \frac{9\pi}{7} \). Используем чётность: \( \cos (-\frac{8\pi}{7}) = \cos \frac{8\pi}{7} \) и \( \cos (-\frac{9\pi}{7}) = \cos \frac{9\pi}{7} \).

  • Проверим, на каком промежутке монотонности находятся углы \( \frac{8\pi}{7} \) и \( \frac{9\pi}{7} \). Оба угла принадлежат отрезку \( [\pi; 2\pi] \), так как \( \pi = \frac{7\pi}{7} < \frac{8\pi}{7} < \frac{9\pi}{7} < \frac{14\pi}{7} = 2\pi \). На отрезке \( [\pi; 2\pi] \) функция \( y = \cos x \) возрастает.
  • Сравним аргументы: \( \frac{8\pi}{7} < \frac{9\pi}{7} \).
  • Так как функция возрастает, большему аргументу соответствует большее значение функции: \( \cos \frac{8\pi}{7} < \cos \frac{9\pi}{7} \).

Ответ: \( \cos (-\frac{8\pi}{7}) < \cos (-\frac{9\pi}{7}) \).

5) \( \cos 1 \) и \( \cos 3 \);

Пояснение: Углы \( 1 \) и \( 3 \) радиана принадлежат отрезку \( [0; \pi] \), так как \( 0 < 1 < 3 < \pi \approx 3.14 \). На отрезке \( [0; \pi] \) функция \( y = \cos x \) убывает.

  • Сравним аргументы: \( 1 < 3 \).
  • Так как функция убывает, большему аргументу соответствует меньшее значение функции: \( \cos 1 > \cos 3 \).

Ответ: \( \cos 1 > \cos 3 \).

6) \( \cos 4 \) и \( \cos 5 \).

Пояснение: Углы \( 4 \) и \( 5 \) радиана принадлежат отрезку \( [\pi; 2\pi] \), так как \( \pi \approx 3.14 < 4 < 5 < 2\pi \approx 6.28 \). На отрезке \( [\pi; 2\pi] \) функция \( y = \cos x \) возрастает.

  • Сравним аргументы: \( 4 < 5 \).
  • Так как функция возрастает, большему аргументу соответствует большее значение функции: \( \cos 4 < \cos 5 \).

Ответ: \( \cos 4 < \cos 5 \).

Что применять при решении

Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
\( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha, \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 40

708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.