ГДЗ: Упражнение 718 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Отрезок \( [\frac{\pi}{3}; \pi] \) полностью содержится в основном промежутке убывания \( [0; \pi] \) функции \( y = \cos x \).

• На отрезке убывания наименьшему значению \( x \) соответствует наибольшее значение \( y \), а наибольшему \( x \) — наименьшее \( y \).
• \( y_{min} = \cos \pi = -1 \).
• \( y_{max} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).

Ответ: Множество значений: \( [-1; \frac{1}{2}] \).

Пояснение: Интервал \( (\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{4}) \) полностью содержится в основном промежутке возрастания \( [\pi; 2\pi] \) (или \( [-\pi; 0] \) сдвинутом на \( 2\pi \)).

• Сравним границы: \( \pi = \frac{4\pi}{4} < \frac{5\pi}{3} \approx 1.67\pi \) и \( \frac{7\pi}{4} = 1.75\pi < 2\pi \). Значения \( x \) находятся в четвёртой четверти.
• На интервале возрастания, чем больше \( x \), тем больше \( y \).
• Так как концы интервала не включаются, то и значения функции не достигают своих граничных значений.
• \( y_{нижняя} = \cos \frac{7\pi}{4} = \cos (2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• \( y_{верхняя} = \cos \frac{5\pi}{3} = \cos (2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).

Ответ: Множество значений: \( (\cos \frac{7\pi}{4}; \cos \frac{5\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{1}{2}) \) - это неверно, т.к. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \) и \( \frac{1}{2} = 0.5 \). Правильный порядок: \( (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \).