ГДЗ: Упражнение 709 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \) и убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \).

• Представим отрезок \( [3\pi; 4\pi] \) в виде \( [\pi + 2\pi \cdot 1; 2\pi + 2\pi \cdot 1] \) или \( [2\pi + \pi; 4\pi] \).
• Отрезок \( [3\pi; 4\pi] \) можно перенести на \( -2\pi \), получим \( [\pi; 2\pi] \).
• На основном отрезке \( [\pi; 2\pi] \), который является частью \( [\pi; 3\pi] \) (промежуток возрастания), функция возрастает. Также этот отрезок можно представить как \( [\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n] \) при \( n = 1 \).

Ответ: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезке \( [3\pi; 4\pi] \), так как он совпадает по характеру монотонности с отрезком \( [\pi; 2\pi] \) (сдвиг на \( 2\pi \)).

Пояснение: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \) и убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \).

• Представим отрезок \( [-2\pi; -\pi] \) в виде \( [2\pi \cdot (-1); \pi + 2\pi \cdot (-1)] \).
• Он соответствует отрезку убывания \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) при \( n = -1 \).
• Отрезок \( [-2\pi; -\pi] \) можно перенести на \( +2\pi \), получим \( [0; \pi] \). На основном отрезке \( [0; \pi] \) функция убывает.

Ответ: Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезке \( [-2\pi; -\pi] \).

Пояснение: Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезке \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \).

• Отрезок \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \) является частью отрезка \( [2\pi; \pi + 2\pi] = [2\pi; 3\pi] \) (при \( n = 1 \)).
• На основном отрезке \( [0; \pi] \) функция убывает. Отрезок \( [2\pi; 3\pi] \) — это сдвиг \( [0; \pi] \) на \( 2\pi \), значит, функция также убывает.
• Так как \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \subset [2\pi; 3\pi] \), функция убывает.

Ответ: Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезке \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \).

Пояснение: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезке \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \).

• Отрезок \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \) является частью отрезка \( [-\pi; 0] \) (при \( n = 0 \)).
• На основном отрезке \( [-\pi; 0] \) функция возрастает.

Ответ: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \).

Пояснение: Приблизительно: \( 1 \approx 57.3^{\circ}, 3 \approx 171.9^{\circ} \). Угол \( 1 \) радиан и \( 3 \) радиана лежат в первой и второй четверти соответственно. Отрезок \( [1; 3] \) полностью содержится в основном отрезке убывания \( [0; \pi] \), так как \( 0 < 1 < 3 < \pi \approx 3.14 \).

Ответ: Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезке \( [1; 3] \).

Пояснение: Приблизительно: \( -2 \approx -114.6^{\circ}, -1 \approx -57.3^{\circ} \). Оба угла лежат в четвёртой четверти. Отрезок \( [-2; -1] \) полностью содержится в основном отрезке возрастания \( [-\pi; 0] \), так как \( -\pi \approx -3.14 < -2 < -1 < 0 \).

Ответ: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезке \( [-2; -1] \).