Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 40 / Задание 714

ГДЗ: Упражнение 714 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 208, 211, 212
Глава: Глава 7
Параграф: § 40 - Свойства функции y =cos x и её график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

714 упражнение:

Выразив синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа:

1) \( \cos \frac{\pi}{5} \) и \( \sin \frac{\pi}{5} \);

Пояснение: Используем формулу приведения \( \sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \). Тогда \( \sin \frac{\pi}{5} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \cos (\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \cos \frac{3\pi}{10} \).

  • Сравнение сводится к сравнению \( \cos \frac{\pi}{5} \) и \( \cos \frac{3\pi}{10} \).
  • Приведём \( \frac{\pi}{5} \) к знаменателю 10: \( \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{10} \).
  • Сравниваем \( \cos \frac{2\pi}{10} \) и \( \cos \frac{3\pi}{10} \).
  • Углы \( \frac{2\pi}{10} \) и \( \frac{3\pi}{10} \) принадлежат отрезку \( [0; \pi] \), где функция \( y = \cos x \) убывает.
  • Сравним аргументы: \( \frac{2\pi}{10} < \frac{3\pi}{10} \).
  • Так как функция убывает: \( \cos \frac{2\pi}{10} > \cos \frac{3\pi}{10} \).

Ответ: \( \cos \frac{\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{5} \).

2) \( \sin \frac{\pi}{7} \) и \( \cos \frac{\pi}{7} \);

Пояснение: Используем формулу приведения \( \sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \). Тогда \( \sin \frac{\pi}{7} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \cos (\frac{7\pi - 2\pi}{14}) = \cos \frac{5\pi}{14} \).

  • Сравнение сводится к сравнению \( \cos \frac{5\pi}{14} \) и \( \cos \frac{\pi}{7} \).
  • Приведём \( \frac{\pi}{7} \) к знаменателю 14: \( \frac{\pi}{7} = \frac{2\pi}{14} \).
  • Сравниваем \( \cos \frac{5\pi}{14} \) и \( \cos \frac{2\pi}{14} \).
  • Углы \( \frac{5\pi}{14} \) и \( \frac{2\pi}{14} \) принадлежат отрезку \( [0; \pi] \), где функция \( y = \cos x \) убывает.
  • Сравним аргументы: \( \frac{2\pi}{14} < \frac{5\pi}{14} \).
  • Так как функция убывает: \( \cos \frac{2\pi}{14} > \cos \frac{5\pi}{14} \).

Ответ: \( \sin \frac{\pi}{7} < \cos \frac{\pi}{7} \).

3) \( \cos \frac{3\pi}{8} \) и \( \sin \frac{5\pi}{8} \);

Пояснение: Используем формулу приведения \( \sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \) или \( \sin \alpha = \sin (\pi - \alpha) \). Угол \( \frac{5\pi}{8} \) находится во второй четверти. Воспользуемся формулой \( \sin \alpha = \cos (\alpha - \frac{\pi}{2}) \) для второй четверти. Проще: \( \sin \frac{5\pi}{8} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{8}) \) не подходит, т.к. \( \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{8} = \frac{4\pi - 5\pi}{8} = -\frac{\pi}{8} \). Используем \( \sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \) и чётность: \( \sin \frac{5\pi}{8} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{8}) = \cos (-\frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{8} \).

  • Сравнение сводится к сравнению \( \cos \frac{3\pi}{8} \) и \( \cos \frac{\pi}{8} \).
  • Углы \( \frac{3\pi}{8} \) и \( \frac{\pi}{8} \) принадлежат отрезку \( [0; \pi] \), где функция \( y = \cos x \) убывает.
  • Сравним аргументы: \( \frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} \).
  • Так как функция убывает: \( \cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{3\pi}{8} \).

Ответ: \( \cos \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8} \).

4) \( \sin \frac{3\pi}{5} \) и \( \cos \frac{\pi}{5} \);

Пояснение: Используем формулу приведения \( \sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \). Тогда \( \sin \frac{3\pi}{5} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}) = \cos (\frac{5\pi - 6\pi}{10}) = \cos (-\frac{\pi}{10}) \). Используя чётность косинуса, получим \( \sin \frac{3\pi}{5} = \cos \frac{\pi}{10} \).

  • Сравнение сводится к сравнению \( \cos \frac{\pi}{10} \) и \( \cos \frac{\pi}{5} \).
  • Приведём \( \frac{\pi}{5} \) к знаменателю 10: \( \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{10} \).
  • Сравниваем \( \cos \frac{\pi}{10} \) и \( \cos \frac{2\pi}{10} \).
  • Углы \( \frac{\pi}{10} \) и \( \frac{2\pi}{10} \) принадлежат отрезку \( [0; \pi] \), где функция \( y = \cos x \) убывает.
  • Сравним аргументы: \( \frac{\pi}{10} < \frac{2\pi}{10} \).
  • Так как функция убывает: \( \cos \frac{\pi}{10} > \cos \frac{2\pi}{10} \).

Ответ: \( \sin \frac{3\pi}{5} > \cos \frac{\pi}{5} \).

5) \( \cos \frac{5\pi}{6} \) и \( \sin \frac{5\pi}{14} \);

Пояснение: Используем формулу приведения \( \sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \). Тогда \( \sin \frac{5\pi}{14} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \cos (\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = \cos \frac{2\pi}{14} = \cos \frac{\pi}{7} \).

  • Сравнение сводится к сравнению \( \cos \frac{5\pi}{6} \) и \( \cos \frac{\pi}{7} \).
  • Оба угла \( \frac{5\pi}{6} \) и \( \frac{\pi}{7} \) принадлежат отрезку \( [0; \pi] \). На этом отрезке функция \( y = \cos x \) убывает.
  • Сравним аргументы: \( \frac{\pi}{7} = \frac{6\pi}{42} \) и \( \frac{5\pi}{6} = \frac{35\pi}{42} \). Очевидно, \( \frac{\pi}{7} < \frac{5\pi}{6} \).
  • Так как функция убывает: \( \cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{5\pi}{6} \).

Ответ: \( \cos \frac{5\pi}{6} < \sin \frac{5\pi}{14} \).

6) \( \cos \frac{3\pi}{8} \) и \( \sin \frac{3\pi}{10} \).

Пояснение: Используем формулу приведения \( \sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \). Тогда \( \sin \frac{3\pi}{10} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \cos (\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \cos \frac{2\pi}{10} = \cos \frac{\pi}{5} \).

  • Сравнение сводится к сравнению \( \cos \frac{3\pi}{8} \) и \( \cos \frac{\pi}{5} \).
  • Оба угла \( \frac{3\pi}{8} \) и \( \frac{\pi}{5} \) принадлежат отрезку \( [0; \pi] \). На этом отрезке функция \( y = \cos x \) убывает.
  • Сравним аргументы: \( \frac{3\pi}{8} = \frac{15\pi}{40} \) и \( \frac{\pi}{5} = \frac{8\pi}{40} \). Очевидно, \( \frac{\pi}{5} < \frac{3\pi}{8} \).
  • Так как функция убывает: \( \cos \frac{\pi}{5} > \cos \frac{3\pi}{8} \).

Ответ: \( \cos \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{3\pi}{10} \).

Что применять при решении

Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
\( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha, \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 40

708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.