Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 40 / Задание 712

ГДЗ: Упражнение 712 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 208, 211, 212
Глава: Глава 7
Параграф: § 40 - Свойства функции y =cos x и её график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

712 упражнение:

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \):

1) \( \cos x = \frac{1}{2} \);

Пояснение: Общее решение уравнения \( \cos x = \frac{1}{2} \) имеет вид \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

  • Ищем корни на отрезке \( [0; 3\pi] \):
  • Для \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \):
    • При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{3} \) (\( \frac{\pi}{3} \in [0; 3\pi] \)).
    • При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \) (\( \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} < 3\pi \), входит).
    • При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 4\pi \) (не входит).
  • Для \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \):
    • При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{3} \) (не входит).
    • При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \) (\( \frac{5\pi}{3} < 3\pi \), входит).
    • При \( n = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \) (не входит).

Ответ: \( \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} \).

2) \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \);

Пояснение: Общее решение уравнения \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) имеет вид \( x = \pm (\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

  • Ищем корни на отрезке \( [0; 3\pi] \):
  • Для \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \):
    • При \( n = 0 \): \( x = \frac{3\pi}{4} \) (входит).
    • При \( n = 1 \): \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \) (\( \frac{11\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4} \). Так как \( 3\pi = \frac{12\pi}{4} \), то \( \frac{11\pi}{4} < 3\pi \), входит).
  • Для \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \):
    • При \( n = 1 \): \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \) (входит).
    • При \( n = 2 \): \( x = -\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4} \) (не входит).

Ответ: \( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4} \).

3) \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \);

Пояснение: Общее решение уравнения \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) имеет вид \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

  • Ищем корни на отрезке \( [0; 3\pi] \):
  • Для \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \):
    • При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \) (входит).
    • При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \) (\( \frac{9\pi}{4} < 3\pi \), входит).
  • Для \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \):
    • При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \) (входит).
    • При \( n = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} \) (не входит).

Ответ: \( \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} \).

4) \( \cos x = -\frac{1}{2} \).

Пояснение: Общее решение уравнения \( \cos x = -\frac{1}{2} \) имеет вид \( x = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

  • Ищем корни на отрезке \( [0; 3\pi] \):
  • Для \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):
    • При \( n = 0 \): \( x = \frac{2\pi}{3} \) (входит).
    • При \( n = 1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \) (\( \frac{8\pi}{3} < 3\pi = \frac{9\pi}{3} \), входит).
  • Для \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):
    • При \( n = 1 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \) (входит).
    • При \( n = 2 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \) (не входит).

Ответ: \( \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} \).

Что применять при решении

Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
\( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha, \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 40

708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.