Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 3 / Задание 13

ГДЗ: Упражнение 13 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

Глава:	Глава 1
Параграф:	§ 3 - Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

13 упражнение:

Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой \( n \)-го члена:

1) \( b_n = -5 \cdot 2^n \)

Последовательность \( b_n = -5 \cdot 2^n \) является геометрической прогрессией.

Пояснение:

Найдем отношение \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\):
\( \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-5 \cdot 2^{n+1}}{-5 \cdot 2^n} \)
Сократим общие множители:
\( \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{n+1-n} = 2^1 = 2 \)
Отношение \( \frac{b_{n+1}}{b_n} = 2 \) является постоянным числом, не зависящим от \( n \). Это означает, что последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем \( q = 2 \).
Чтобы выяснить, является ли она бесконечно убывающей, проверим условие \( |q| < 1 \):
\( |q| = |2| = 2 \)
Так как \( 2 \not< 1 \), прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: Является геометрической прогрессией, \( q=2 \). Не является бесконечно убывающей.

2) \( b_n = 2^n \)

Последовательность \( b_n = 2^n \) является геометрической прогрессией.

Пояснение:

Найдем отношение \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\):
\( \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} \)
Сократим общие множители:
\( \frac{b_{n+1}}{b_n} = 2^{n+1-n} = 2^1 = 2 \)
Отношение \( \frac{b_{n+1}}{b_n} = 2 \) является постоянным числом, не зависящим от \( n \). Это означает, что последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем \( q = 2 \).
Чтобы выяснить, является ли она бесконечно убывающей, проверим условие \( |q| < 1 \):
\( |q| = |2| = 2 \)
Так как \( 2 \not< 1 \), прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: Является геометрической прогрессией, \( q=2 \). Не является бесконечно убывающей.

Что применять при решении

Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия \( b_1, b_2, \dots, b_n, \dots \) называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя \( q \) меньше единицы, то есть \( |q| < 1 \).

\( |q| < 1 \)

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма \( S \) бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \) (где \( |q| < 1 \)) вычисляется по формуле.

\( S = \frac{b_1}{1 - q} \)

Формула n-го члена геометрической прогрессии

n-й член геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \) вычисляется по формуле.

\( b_n = b_1 q^{n-1} \)

Признак бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Последовательность, заданная формулой \( n \)-го члена \( b_n \), является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она геометрическая прогрессия и предел \( b_n \) при \( n \to \infty \) равен нулю, что равносильно условию \( |q| < 1 \).

\( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \iff |q| < 1 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 3

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.