ГДЗ: Упражнение 26 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем формулу суммы \( S = \frac{b_1}{1 - q} \) и формулу \( n \)-го члена \( b_n = b_1 q^{n-1} \).

Шаг 1: Запишем систему уравнений.

\n

• \( b_1 + b_4 = 18 \implies b_1 + b_1 q^3 = 18 \implies b_1(1 + q^3) = 18 \) (1)

\n

• \( b_2 + b_3 = 12 \implies b_1 q + b_1 q^2 = 12 \implies b_1 q(1 + q) = 12 \) (2)

\n

Шаг 2: Упростим уравнение (1).

\n

• Используем формулу суммы кубов: \( 1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2) \).

\n

• Уравнение (1) примет вид: \( b_1(1 + q)(1 - q + q^2) = 18 \) (1')

\n

Шаг 3: Найдем знаменатель \( q \).

\n

• Разделим уравнение (1') на уравнение (2), так как \( b_1 \neq 0 \) и \( 1+q \neq 0 \) (если \( q=-1 \), то \( b_2+b_3 = 0 \neq 12 \)):

\n

• \( \frac{b_1(1 + q)(1 - q + q^2)}{b_1 q(1 + q)} = \frac{18}{12} \)

\n

• После сокращения получим: \( \frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{3}{2} \)

\n

• Перемножим крест-накрест:

\n

• \( 2(1 - q + q^2) = 3q \)

\n

• \( 2 - 2q + 2q^2 = 3q \)

\n

• Приведем к квадратному уравнению: \( 2q^2 - 5q + 2 = 0 \)

\n

• Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\n

• \( D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 \)

\n

• Корни: \( q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \)

\n

• Два возможных значения для \( q \): \( q_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \) и \( q_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

\n

Шаг 4: Выберем подходящее значение \( q \).

\n

• По условию прогрессия является бесконечно убывающей, что требует \( |q| < 1 \).

\n

• Проверим корни:

\n

• Для \( q_1 = 2 \): \( |q_1| = 2 \not< 1 \). (Не подходит)

\n

• Для \( q_2 = \frac{1}{2} \): \( |q_2| = \frac{1}{2} < 1 \). (Подходит)

\n

• Таким образом, \( q = \frac{1}{2} \).

\n

Шаг 5: Найдем первый член \( b_1 \).

\n

• Подставим \( q = \frac{1}{2} \) в уравнение (2): \( b_1 \cdot \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\right) = 12 \)

\n

• \( b_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 12 \)

\n

• \( b_1 \cdot \frac{3}{4} = 12 \)

\n

• Выразим \( b_1 \): \( b_1 = 12 \cdot \frac{4}{3} = 4 \cdot 4 = 16 \)

\n

Шаг 6: Найдем сумму \( S \).

\n

• Используем формулу \( S = \frac{b_1}{1 - q} \) с \( b_1 = 16 \) и \( q = \frac{1}{2} \):

\n

• \( S = \frac{16}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{16}{\frac{1}{2}} \)

\n

• Выполним деление: \( S = 16 \cdot 2 = 32 \)

\n

Ответ: \( S = 32 \).