Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 3 / Задание 16
| Глава: | Глава 1 |
|---|---|
| Параграф: | § 3 - Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия |
| Учебник: | Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы - |
| Автор: | Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна |
| Год: | 2025 |
| Издание: |
Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо, чтобы модуль её знаменателя \( q \) был меньше единицы: \( |q| < 1 \).
\nШаг 1: Найти знаменатель \( q \).
\nИспользуем формулу \( q = \frac{b_2}{b_1} \).
Подставим значения \( b_1 = 40 \) и \( b_2 = -20 \):
\( q = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2} \)
Шаг 2: Проверить условие \( |q| < 1 \).
\nНайдем модуль \( q \): \( |q| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} \)
Сравним с 1:
Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Является бесконечно убывающей, так как \( q = -\frac{1}{2} \) и \( |q| < 1 \).
Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо, чтобы модуль её знаменателя \( q \) был меньше единицы: \( |q| < 1 \).
\nШаг 1: Найти знаменатель \( q \).
\nИспользуем отношение членов прогрессии: \( \frac{b_m}{b_n} = q^{m-n} \).
Для \( m=11 \) и \( n=7 \): \( \frac{b_{11}}{b_7} = q^{11-7} = q^4 \).
Подставим известные значения \( b_7 = 12 \) и \( b_{11} = \frac{3}{4} \):
\( q^4 = \frac{3/4}{12} = \frac{3}{4 \cdot 12} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \)
Для нахождения \( q \) извлечем корень четвертой степени:
\( q = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{2} \)
Шаг 2: Проверить условие \( |q| < 1 \).
\nВ обоих случаях \( q = \frac{1}{2} \) или \( q = -\frac{1}{2} \):
\( |q| = \left|\pm\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} \)
Сравним с 1:
Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Является бесконечно убывающей, так как \( q = \pm \frac{1}{2} \) и \( |q| < 1 \).
Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо, чтобы модуль её знаменателя \( q \) был меньше единицы: \( |q| < 1 \).
\nШаг 1: Найти знаменатель \( q \).
\nИспользуем формулу \( q = \frac{b_7}{b_6} \).
Подставим значения \( b_7 = -30 \) и \( b_6 = 15 \):
\( q = \frac{-30}{15} = -2 \)
Шаг 2: Проверить условие \( |q| < 1 \).
\nНайдем модуль \( q \): \( |q| = |-2| = 2 \)
Сравним с 1:
Так как \( 2 \not< 1 \), прогрессия не является бесконечно убывающей.
Ответ: Не является бесконечно убывающей, так как \( q = -2 \) и \( |q| \not< 1 \).
Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо, чтобы модуль её знаменателя \( q \) был меньше единицы: \( |q| < 1 \).
\nШаг 1: Найти знаменатель \( q \).
\nИспользуем отношение членов прогрессии: \( \frac{b_m}{b_n} = q^{m-n} \).
Для \( m=10 \) и \( n=5 \): \( \frac{b_{10}}{b_5} = q^{10-5} = q^5 \).
Подставим известные значения \( b_5 = 9 \) и \( b_{10} = \frac{1}{27} \):
\( q^5 = \frac{1/27}{9} = \frac{1}{27 \cdot 9} = \frac{1}{243} \)
Для нахождения \( q \) извлечем корень пятой степени:
Так как \( 243 = 3^5 \), то \( q = \sqrt[5]{\frac{1}{243}} = \frac{1}{3} \)
Шаг 2: Проверить условие \( |q| < 1 \).
\nНайдем модуль \( q \): \( |q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \)
Сравним с 1:
Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Является бесконечно убывающей, так как \( q = \frac{1}{3} \) и \( |q| < 1 \).
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
