Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 3 / Задание 15

ГДЗ: Упражнение 15 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
Глава: Глава 1
Параграф: § 3 - Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

15 упражнение:

Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:

1) \( 1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \dots \)

Последовательность \( 1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \dots \) является геометрической прогрессией.

\n

Пояснение:

\n
    \n

  • Найдем первый член \( b_1 \): \( b_1 = 1 \).

    • \n

  • Найдем знаменатель \( q \) как отношение последующего члена к предыдущему:

    • \n

  • \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/5}{1} = \frac{1}{5} \)

    • \n

  • Проверим для следующей пары:

    • \n

  • \( q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1/25}{1/5} = \frac{1}{25} \cdot 5 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \)

    • \n

  • Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{5} \).

    • \n

  • Проверим условие бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( |q| < 1 \).

    • \n

  • \( |q| = \left|\frac{1}{5}\right| = \frac{1}{5} \)

    • \n

  • Так как \( \frac{1}{5} < 1 \), то прогрессия является бесконечно убывающей.

    • \n
\n

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как \( |q| = \frac{1}{5} < 1 \).

2) \( 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots \)

Последовательность \( 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots \) является геометрической прогрессией.

\n

Пояснение:

\n
    \n

  • Найдем первый член \( b_1 \): \( b_1 = 1 \).

    • \n

  • Найдем знаменатель \( q \) как отношение последующего члена к предыдущему:

    • \n

  • \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3} \)

    • \n

  • Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{3} \).

    • \n

  • Проверим условие бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( |q| < 1 \).

    • \n

  • \( |q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \)

    • \n

  • Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), то прогрессия является бесконечно убывающей.

    • \n
\n

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \).

3) \( -27, -9, -3, \dots \)

Последовательность \( -27, -9, -3, \dots \) является геометрической прогрессией.

\n

Пояснение:

\n
    \n

  • Найдем первый член \( b_1 \): \( b_1 = -27 \).

    • \n

  • Найдем знаменатель \( q \) как отношение последующего члена к предыдущему:

    • \n

  • \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-9}{-27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3} \)

    • \n

  • Проверим для следующей пары:

    • \n

  • \( q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

    • \n

  • Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{3} \).

    • \n

  • Проверим условие бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( |q| < 1 \).

    • \n

  • \( |q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \)

    • \n

  • Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), то прогрессия является бесконечно убывающей.

    • \n
\n

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \).

4) \( -64, -32, -16, \dots \)

Последовательность \( -64, -32, -16, \dots \) является геометрической прогрессией.

\n

Пояснение:

\n
    \n

  • Найдем первый член \( b_1 \): \( b_1 = -64 \).

    • \n

  • Найдем знаменатель \( q \) как отношение последующего члена к предыдущему:

    • \n

  • \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-32}{-64} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} \)

    • \n

  • Проверим для следующей пары:

    • \n

  • \( q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-16}{-32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \)

    • \n

  • Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{2} \).

    • \n

  • Проверим условие бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( |q| < 1 \).

    • \n

  • \( |q| = \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} \)

    • \n

  • Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), то прогрессия является бесконечно убывающей.

    • \n
\n

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \).

Что применять при решении

Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия \( b_1, b_2, \dots, b_n, \dots \) называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя \( q \) меньше единицы, то есть \( |q| < 1 \).
\( |q| < 1 \)
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Сумма \( S \) бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \) (где \( |q| < 1 \)) вычисляется по формуле.
\( S = \frac{b_1}{1 - q} \)
Формула n-го члена геометрической прогрессии
n-й член геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \) вычисляется по формуле.
\( b_n = b_1 q^{n-1} \)
Признак бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Последовательность, заданная формулой \( n \)-го члена \( b_n \), является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она геометрическая прогрессия и предел \( b_n \) при \( n \to \infty \) равен нулю, что равносильно условию \( |q| < 1 \).
\( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \iff |q| < 1 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 3

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.