ГДЗ: Упражнение 24 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Необходимо вычислить предел последовательности \( \frac{3 - 2^n}{2^n} \) при \( n \to \infty \).

Пояснение:

\n

• Разделим почленно: \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2^n} - \frac{2^n}{2^n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2^n} - 1\right) \)

\n

• Применим свойства предела: \( \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2^n} - \lim_{n \to \infty} 1 \)

\n

• Предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2^n} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n \). Так как \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \), то \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0 \).

\n

• Окончательный результат: \( 3 \cdot 0 - 1 = -1 \)

\n

Ответ: \( -1 \).

Необходимо вычислить предел последовательности \( \frac{3^n + 2}{3^n} \) при \( n \to \infty \).

Пояснение:

\n

• Разделим почленно: \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3^n}{3^n} + \frac{2}{3^n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3^n}\right) \)

\n

• Применим свойства предела: \( \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^n} \)

\n

• Предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^n} = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n \). Так как \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \), то \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0 \).

\n

• Окончательный результат: \( 1 + 2 \cdot 0 = 1 \)

\n

Ответ: \( 1 \).

Необходимо вычислить предел последовательности \( \frac{(5^n + 1)^2}{5^{2n}} \) при \( n \to \infty \).

Пояснение:

\n

• Упростим выражение, используя \( 5^{2n} = (5^n)^2 \): \( \frac{(5^n + 1)^2}{5^{2n}} = \left(\frac{5^n + 1}{5^n}\right)^2 \)

\n

• Разделим почленно в скобках: \( \left(\frac{5^n}{5^n} + \frac{1}{5^n}\right)^2 = \left(1 + \left(\frac{1}{5}\right)^n\right)^2 \)

\n

• Вычислим предел: \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \left(\frac{1}{5}\right)^n\right)^2 = \left(\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{5}\right)^n\right)^2 \)

\n

• Так как \( |q| = \frac{1}{5} < 1 \), то \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{5}\right)^n = 0 \).

\n

• Окончательный результат: \( (1 + 0)^2 = 1 \)

\n

Ответ: \( 1 \).