ГДЗ: Упражнение 18 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \).

Пояснение:

\n

• Проверим условие сходимости: \( |q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1 \). Прогрессия является бесконечно убывающей.

\n

• Подставим значения \( b_1 = 8 \) и \( q = -\frac{1}{2} \) в формулу суммы:

\n

• \( S = \frac{8}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{8}{1 + \frac{1}{2}} \)

\n

• Приведем знаменатель к общему знаменателю: \( S = \frac{8}{\frac{3}{2}} \)

\n

• Разделим, умножив на обратную дробь: \( S = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3} \)

\n

Ответ: \( S = \frac{16}{3} \).

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \). Сначала необходимо найти первый член \( b_1 \).

Шаг 1: Найти первый член \( b_1 \).

\n

• Используем формулу \( n \)-го члена: \( b_n = b_1 q^{n-1} \). Для \( n=5 \): \( b_5 = b_1 q^4 \).

\n

• Подставим известные значения: \( \frac{1}{81} = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^4 \)

\n

• Вычислим степень: \( \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81} \)

\n

• \( \frac{1}{81} = b_1 \cdot \frac{1}{81} \). Отсюда: \( b_1 = 1 \)

\n

Шаг 2: Найти сумму \( S \).

\n

• Проверим условие сходимости: \( |q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1 \). Прогрессия сходится.

\n

• Подставим \( b_1 = 1 \) и \( q = -\frac{1}{3} \) в формулу суммы:

\n

• \( S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} \)

\n

• Разделим: \( S = 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \)

\n

Ответ: \( S = \frac{3}{4} \).

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \). Сначала необходимо найти первый член \( b_1 \).

Шаг 1: Найти первый член \( b_1 \).

\n

• Используем формулу \( n \)-го члена: \( b_n = b_1 q^{n-1} \). Для \( n=4 \): \( b_4 = b_1 q^3 \).

\n

• Подставим известные значения: \( -\frac{2}{9} = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 \)

\n

• Вычислим степень: \( \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27} \)

\n

• \( -\frac{2}{9} = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) \)

\n

• Выразим \( b_1 \): \( b_1 = \left(-\frac{2}{9}\right) \div \left(-\frac{1}{27}\right) = \frac{2}{9} \cdot 27 = 2 \cdot 3 = 6 \)

\n

Шаг 2: Найти сумму \( S \).

\n

• Проверим условие сходимости: \( |q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1 \). Прогрессия сходится.

\n

• Подставим \( b_1 = 6 \) и \( q = -\frac{1}{3} \) в формулу суммы:

\n

• \( S = \frac{6}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{6}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{4}{3}} \)

\n

• Разделим: \( S = 6 \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5 \)

\n

Ответ: \( S = \frac{9}{2} \) или \( 4,5 \).

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \). Сначала необходимо найти первый член \( b_1 \).

Шаг 1: Найти первый член \( b_1 \).

\n

• Используем формулу \( n \)-го члена: \( b_n = b_1 q^{n-1} \). Для \( n=4 \): \( b_4 = b_1 q^3 \).

\n

• Подставим известные значения: \( \frac{1}{8} = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \)

\n

• Вычислим степень: \( \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8} \)

\n

• \( \frac{1}{8} = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) \)

\n

• Выразим \( b_1 \): \( b_1 = \frac{1}{8} \div \left(-\frac{1}{8}\right) = -1 \)

\n

Шаг 2: Найти сумму \( S \).

\n

• Проверим условие сходимости: \( |q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1 \). Прогрессия сходится.

\n

• Подставим \( b_1 = -1 \) и \( q = -\frac{1}{2} \) в формулу суммы:

\n

• \( S = \frac{-1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} \)

\n

• Разделим: \( S = -1 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \)

\n

Ответ: \( S = -\frac{2}{3} \).