Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 3 / Задание 19

ГДЗ: Упражнение 19 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
Глава: Глава 1
Параграф: § 3 - Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

19 упражнение:

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

1) \( 6, 1, \frac{1}{6}, \dots \)

Необходимо найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( 6, 1, \frac{1}{6}, \dots \) по формуле: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \).

\n

Шаг 1: Найти первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \).

\n
    \n

  • Первый член: \( b_1 = 6 \).

    • \n

  • Знаменатель \( q \): \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{6} \).

    • \n

  • Проверим условие сходимости: \( |q| = \frac{1}{6} < 1 \). Прогрессия сходится.

    • \n
\n

Шаг 2: Найти сумму \( S \).

\n
    \n

  • Подставим \( b_1 = 6 \) и \( q = \frac{1}{6} \) в формулу суммы:

    • \n

  • \( S = \frac{6}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{5}{6}} \)

    • \n

  • Разделим: \( S = 6 \cdot \frac{6}{5} = \frac{36}{5} \)

    • \n
\n

Ответ: \( S = \frac{36}{5} \) или \( 7,2 \).

2) \( -25, -5, -1, \dots \)

Необходимо найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( -25, -5, -1, \dots \) по формуле: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \).

\n

Шаг 1: Найти первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \).

\n
    \n

  • Первый член: \( b_1 = -25 \).

    • \n

  • Знаменатель \( q \): \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-5}{-25} = \frac{1}{5} \).

    • \n

  • Проверим условие сходимости: \( |q| = \frac{1}{5} < 1 \). Прогрессия сходится.

    • \n
\n

Шаг 2: Найти сумму \( S \).

\n
    \n

  • Подставим \( b_1 = -25 \) и \( q = \frac{1}{5} \) в формулу суммы:

    • \n

  • \( S = \frac{-25}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{4}{5}} \)

    • \n

  • Разделим: \( S = -25 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{125}{4} \)

    • \n
\n

Ответ: \( S = -\frac{125}{4} \) или \( -31,25 \).

Что применять при решении

Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия \( b_1, b_2, \dots, b_n, \dots \) называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя \( q \) меньше единицы, то есть \( |q| < 1 \).
\( |q| < 1 \)
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Сумма \( S \) бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \) (где \( |q| < 1 \)) вычисляется по формуле.
\( S = \frac{b_1}{1 - q} \)
Формула n-го члена геометрической прогрессии
n-й член геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \) вычисляется по формуле.
\( b_n = b_1 q^{n-1} \)
Признак бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Последовательность, заданная формулой \( n \)-го члена \( b_n \), является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она геометрическая прогрессия и предел \( b_n \) при \( n \to \infty \) равен нулю, что равносильно условию \( |q| < 1 \).
\( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \iff |q| < 1 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 3

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.