ГДЗ: Упражнение 20 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Дробь \( 0,(5) \) является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( 0,5 + 0,05 + 0,005 + \dots \).

Пояснение:

\n

• Первый член: \( b_1 = 0,5 = \frac{5}{10} \).

\n

• Знаменатель: \( q = 0,1 = \frac{1}{10} \).

\n

• Используем формулу суммы: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \)

\n

• \( S = \frac{\frac{5}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{5}{10}}{\frac{9}{10}} \)

\n

• Выполним деление: \( S = \frac{5}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{5}{9} \)

\n

Ответ: \( 0,(5) = \frac{5}{9} \).

Дробь \( 0,(8) \) является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( 0,8 + 0,08 + 0,008 + \dots \).

Пояснение:

\n

• Первый член: \( b_1 = 0,8 = \frac{8}{10} \).

\n

• Знаменатель: \( q = 0,1 = \frac{1}{10} \).

\n

• Используем формулу суммы: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \)

\n

• \( S = \frac{\frac{8}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{8}{10}}{\frac{9}{10}} \)

\n

• Выполним деление: \( S = \frac{8}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{8}{9} \)

\n

Ответ: \( 0,(8) = \frac{8}{9} \).

Дробь \( 0,(32) \) является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( 0,32 + 0,0032 + 0,000032 + \dots \).

Пояснение:

\n

• Первый член: \( b_1 = 0,32 = \frac{32}{100} \).

\n

• Знаменатель: \( q = 0,01 = \frac{1}{100} \).

\n

• Используем формулу суммы: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \)

\n

• \( S = \frac{\frac{32}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{32}{100}}{\frac{99}{100}} \)

\n

• Выполним деление: \( S = \frac{32}{100} \cdot \frac{100}{99} = \frac{32}{99} \)

\n

Ответ: \( 0,(32) = \frac{32}{99} \).

Дробь \( 0,2(5) \) представим как сумму непериодической и периодической частей: \( 0,2(5) = 0,2 + 0,0555\dots \).

Пояснение:

\n

• Непериодическая часть: \( 0,2 = \frac{2}{10} \).

\n

• Периодическая часть: \( 0,05 + 0,005 + 0,0005 + \dots \). Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с:

\n

• Первый член: \( b_1 = 0,05 = \frac{5}{100} \)

\n

• Знаменатель: \( q = 0,1 = \frac{1}{10} \)

\n

• Сумма периодической части \( S_{пер} \): \( S_{пер} = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{5}{100}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{5}{100}}{\frac{9}{10}} = \frac{5}{100} \cdot \frac{10}{9} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18} \)

\n

• Полная сумма \( S \): \( S = \frac{2}{10} + \frac{1}{18} \)

\n

• Приведем к общему знаменателю 90: \( S = \frac{2 \cdot 9}{90} + \frac{1 \cdot 5}{90} = \frac{18}{90} + \frac{5}{90} = \frac{23}{90} \)

\n

Ответ: \( 0,2(5) = \frac{23}{90} \).