ГДЗ: Упражнение 138 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Раскрытие скобок.

\n

\n
• Раскроем скобки в левой части уравнения: \( 3(x + 7) = 3x + 21 \).
\n
• Уравнение примет вид: \( 3x + 21 = 2x + 14 \).
\n

\n

Шаг 2: Перенос слагаемых.

\n

\n
• Перенесем слагаемые, содержащие \( x \), в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки на противоположные. Это преобразование приводит к равносильному уравнению.
\n
• \( 3x - 2x = 14 - 21 \).
\n

\n

Шаг 3: Упрощение и нахождение корня.

\n

\n
• Упростим обе части: \( x = -7 \).
\n

\n

Ответ: Корнем уравнения является \( x = -7 \).

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ).

\n

\n
• Уравнение содержит дробь \( \frac{1}{x^2 - 4} \). Знаменатель не должен быть равен нулю: \( x^2 - 4 \neq 0 \), что означает \( (x - 2)(x + 2) \neq 0 \).
\n
• ОДЗ: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
\n

\n

Шаг 2: Изоляция \( x^2 \).

\n

\n
• Перенесем дробь \( \frac{1}{x^2 - 4} \) из правой части в левую с противоположным знаком. Это преобразование приводит к равносильному уравнению на ОДЗ.
\n
• \( x^2 + \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 4} = 4 \).
\n
• Получаем: \( x^2 = 4 \).
\n

\n

Шаг 3: Нахождение корней.

\n

\n
• Решим квадратное уравнение: \( x^2 = 4 \), что дает \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -2 \).
\n

\n

Шаг 4: Проверка принадлежности корней ОДЗ.

\n

\n
• Полученные корни \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -2 \) не входят в ОДЗ, так как при этих значениях знаменатель \( x^2 - 4 \) обращается в ноль.
\n
• Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
\n

\n

Ответ: Уравнение не имеет корней.

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ).

\n

\n
• Знаменатель \( x^2 - 1 \neq 0 \), т.е. \( (x - 1)(x + 1) \neq 0 \).
\n
• ОДЗ: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).
\n

\n

Шаг 2: Умножение на общий знаменатель.

\n

\n
• Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( x^2 - 1 \) (при условии, что \( x \in \text{ОДЗ} \)). Это равносильное преобразование.
\n
• \( x - 2 = 1 - 2x \).
\n

\n

Шаг 3: Решение линейного уравнения.

\n

\n
• Перенесем слагаемые с \( x \) влево, а числа вправо: \( x + 2x = 1 + 2 \).
\n
• Упростим: \( 3x = 3 \).
\n
• Разделим на 3: \( x = 1 \).
\n

\n

Шаг 4: Проверка принадлежности корня ОДЗ.

\n

\n
• Корень \( x = 1 \) не входит в ОДЗ (\( x \neq 1 \)).
\n
• Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
\n

\n

Ответ: Уравнение не имеет корней.

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ).

\n

\n
• Знаменатели не должны быть равны нулю: \( (x - 3)(x + 2) \neq 0 \) и \( x + 2 \neq 0 \).
\n
• ОДЗ: \( x \neq 3 \) и \( x \neq -2 \).
\n

\n

Шаг 2: Упрощение левой части.

\n

\n
• Заметим, что \( 5x - 15 = 5(x - 3) \).
\n
• Левая часть: \( \frac{5(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} \).
\n
• Для \( x \neq 3 \), можно сократить на \( x - 3 \): \( \frac{5}{x + 2} \).
\n
• Уравнение примет вид: \( \frac{5}{x + 2} = \frac{2}{x + 2} \).
\n

\n

Шаг 3: Умножение на общий знаменатель.

\n

\n
• Умножим обе части на \( x + 2 \) (при условии, что \( x \neq -2 \)). Это равносильное преобразование на ОДЗ.
\n
• Получаем: \( 5 = 2 \).
\n

\n

Шаг 4: Анализ результата.

\n

\n
• Равенство \( 5 = 2 \) неверно, что означает, что исходное уравнение не имеет решений.
\n

\n

Ответ: Уравнение не имеет корней.

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.